Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4446. (April 2012)

B. 4446. How many squares are formed by the lattice points in an n×n square lattice?

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Minden egyes rácsnégyzet belefoglalható egy legkisebb olyan rácsnégyzetbe, melynek oldalai párhuzamosak a rácstengelyekkel. Ez a rácsnégyzet vagy egybeesik az eredetivel, vagy pedig minden oldalára az eredeti négyzetnek pontosan egy csúcsa esik. Megfordítva, ha kiválasztunk egy k×k-as tengelypárhuzamos rácsnégyzetet, abba pontosan k darab rácsnégyzet írható a fenti értelemben. Mivel az n×n-es négyzetrácsban minden 1\lek\len-1 esetén (n-k)2 darab k×k-as tengelypárhuzamos rácsnégyzet jelölhető ki, a rácspontok összesen

\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)^2k=\sum_{k=1}^{n-1}k^2(n-k)=
n\sum_{k=1}^{n-1}k^2-\sum_{k=1}^{n-1}k^3=

=n\left(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\right)-\left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2=

=\frac{n^2(n-1)}{12}\Bigl( (4n-2)-(3n-3) \Bigr)
=\frac{n^2(n^2-1)}{12}

négyzetet jelölnek ki.


Statistics:

93 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Árkos Gergely, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kecskés Boglárka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Mester Márton, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Papp Roland, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Zahemszky Péter, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 points:Ágoston Péter, Babik Bálint, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Jávorszky Natasa, Kaprinai Balázs, Maga Balázs, Makk László, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Tatár Dániel.
2 points:10 students.
1 point:27 students.
0 point:15 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2012