KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4447. Solve the equation \sqrt{x-3} + \sqrt{x^2-4x+3} = \sqrt{{(x-2)}^3}.

(4 points)

Deadline expired on 10 May 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az y=x-2 helyettesítéssel az egyenlet \sqrt{y-1}+\sqrt{y^2-1}=\sqrt{y^3} alakra hozható. A gyökös kifejezések pontosan akkor lesznek mind értelmesek, ha y\ge1; ekkor mindkét oldal nemnegatív. Az y\ge1 feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott

(y-1)+(y^2-1)+2\sqrt{(y-1)(y^2-1)}=y^3

egyenlettel. Vezessük be a z=\sqrt{(y-1)(y^2-1)}=\sqrt{y^3-y^2-y+1} változót, erre nézve a fenti egyenlet a z2-2z+1=0 alakra hozható, vagyis z=1. Ez azt jelenti, hogy az y3-y2-y+1=1, vagyis az y(y2-y-1)=0 egyenletet kell megoldanunk az y\ge1 feltétel mellett. Ennek megoldása y=(1+\sqrt{5})/2, ahonnan x=y+2=(5+\sqrt{5})/2.


Statistics on problem B. 4447.
97 students sent a solution.
4 points:80 students.
3 points:3 students.
2 points:6 students.
1 point:7 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley