KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4448. (April 2012)

B. 4448. The escribed circle drawn to side AC of a triangle ABC touches the lines of sides BC, AC and AB at the points A1, B1 and C1, respectively. Let F denote the midpoint of the line segment A1B1. Prove that \angleB1C1C=\angleA1C1F.

(4 pont)

Deadline expired on 10 May 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük az AB1C1, BA1C1 és CA1B1 egyenlő szárú háromszögeket. A szokásos jelölésekkel AB_1C_1\sph=AC_1B_1\sph=
\alpha/2, CA_1B_1\sph=CB_1A_1\sph=\gamma/2 és BA_1C_1\sph=BC_1A_1\sph=
90^\circ-\beta/2=\alpha/2+\gamma/2. Innen kapjuk, hogy CB_1C_1\sph=
180^\circ-\alpha/2, A_1B_1C_1\sph=180^\circ-\alpha/2-\gamma/2=
90^\circ+\beta/2, B_1A_1C_1\sph=\alpha/2, valamint A_1C_1B_1\sph=\gamma/2<90^\circ.

A szinusz-tételt az A1C1F és B1C1F háromszögekre alkalmazva

\frac{\sin A_1C_1F\sph}{\sin C_1A_1F\sph}=\frac{A_1F}{C_1F}=
\frac{B_1F}{C_1F}=\frac{\sin B_1C_1F\sph}{\sin C_1B_1F\sph}

adódik, ahonnan

\frac{\sin A_1C_1F\sph}{\sin B_1C_1F\sph}=
\frac{\sin C_1A_1F\sph}{\sin C_1B_1F\sph}=
\frac{\sin \alpha/2}{\sin (90^\circ+\beta/2)}.

Ugyanezt az A1C1C és B1C1C háromszögekre elvégezve a

\frac{\sin A_1C_1C\sph}{\sin C_1A_1C\sph}=\frac{A_1C}{C_1C}=
\frac{B_1C}{C_1C}=\frac{\sin B_1C_1C\sph}{\sin C_1B_1C\sph},

\frac{\sin A_1C_1C\sph}{\sin B_1C_1C\sph}=
\frac{\sin C_1A_1C\sph}{\sin C_1B_1C\sph}=
\frac{\sin (90^\circ-\beta/2)}{\sin (180^\circ-\alpha/2)}

összefüggéseket kapjuk. Mivel sin (90o+\beta/2)=sin (90o-\beta/2) és sin (180o-\alpha/2)=sin \alpha/2, végül

\frac{\sin A_1C_1F\sph}{\sin B_1C_1F\sph}=
\frac{\sin B_1C_1C\sph}{\sin A_1C_1C\sph}.

Figyelembe véve, hogy

 A_1C_1C\sph+B_1C_1C\sph=B_1C_1F\sph+A_1C_1F\sph=
A_1C_1B_1\sph<90^\circ

és hogy a (0,90o) intervallumon a \sin x/\sin({A_1C_1B_1\sph}-x) függvény szigorúan monoton növekedő, ebből éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.


Statistics:

>
21 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Anna Noémi, Ódor Gergely, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila.
3 points:Bősze Zsuzsanna, Gyarmati Máté, Nagy Róbert.
2 points:2 students.
1 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley