Problem B. 4448. (April 2012)
B. 4448. The escribed circle drawn to side AC of a triangle ABC touches the lines of sides BC, AC and AB at the points A1, B1 and C1, respectively. Let F denote the midpoint of the line segment A1B1. Prove that B1C1C=A1C1F.
(4 pont)
Deadline expired on May 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tekintsük az AB1C1, BA1C1 és CA1B1 egyenlő szárú háromszögeket. A szokásos jelölésekkel , és . Innen kapjuk, hogy , , , valamint .
A szinusz-tételt az A1C1F és B1C1F háromszögekre alkalmazva
adódik, ahonnan
Ugyanezt az A1C1C és B1C1C háromszögekre elvégezve a
összefüggéseket kapjuk. Mivel sin (90o+/2)=sin (90o-/2) és sin (180o-/2)=sin /2, végül
Figyelembe véve, hogy
és hogy a (0,90o) intervallumon a függvény szigorúan monoton növekedő, ebből éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.
Statistics:
21 students sent a solution. 4 points: Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Anna Noémi, Ódor Gergely, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila. 3 points: Bősze Zsuzsanna, Gyarmati Máté, Nagy Róbert. 2 points: 2 students. 1 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2012