KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4449. (April 2012)

B. 4449. In how many zeros does the number 456+654 end in decimal notation?

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy az adott szám 5-nek hanyadik hatványával osztható. A binomiális tétel alapján

4^{5^6}+6^{5^4}=(5-1)^{5^6}+(5+1)^{5^4}=
\sum_{i=0}^{5^6}\binom{5^6}{i}5^i(-1)^{5^6-i}+
\sum_{i=0}^{5^4}\binom{5^4}{i}5^i.

Az első összeg első tagja (i=0 eset) -1, míg a második összeg első tagja +1, így ezek kiejtik egymást. A második tagok (i=1 eset) összege

56.5+54.5=55.26,

ami osztható 55-nel, de nem osztható 56-nal.

Megmutatjuk, hogy i\ge2 esetén \binom{5^6}{i}5^i(-1)^{5^6-i} és \binom{5^4}{i}5^i is osztható 56-nal. Ez nyilvánvaló, ha i\ge6. Ha 2\lei\le4, akkor

\binom{5^k}{i}=\frac{5^k(5^k-1)\ldots(5^k-i+1)}{i!}

osztható 5k-nal, ezért \binom{5^6}{i}5^i(-1)^{5^6-i} és \binom{5^4}{i}5^i is osztható 56-nal. Végül i=5 esetén elég ellenőrizni, hogy \binom{5^6}{i} és \binom{5^4}{i} is osztható 5-tel, ami viszont következik abból, hogy

\binom{5^k}{5}=\frac{5^k(5^k-1)\ldots(5^k-4)}{5!}

osztható 5k-1-nel.

Ezzel beláttuk, hogy a 456+654 szám osztható 55-nel, de nem osztható 56-nal. Mivel nyilván osztható 254-nel, és így 25-nel is, a szám osztható 105-nel, de nem osztható 106-nal, vagyis pontosan 5 darab nullára végződik.


Statistics:

61 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Ódor Gergely, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Weisz Ambrus.
3 points:Homonnay Bálint, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Zilahi Tamás.
2 points:3 students.
1 point:5 students.
0 point:21 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley