Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4449. feladat (2012. április)

B. 4449. Hány nullára végződik a 456+654 tízes számrendszerbeli alakja?

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy az adott szám 5-nek hanyadik hatványával osztható. A binomiális tétel alapján

4^{5^6}+6^{5^4}=(5-1)^{5^6}+(5+1)^{5^4}=
\sum_{i=0}^{5^6}\binom{5^6}{i}5^i(-1)^{5^6-i}+
\sum_{i=0}^{5^4}\binom{5^4}{i}5^i.

Az első összeg első tagja (i=0 eset) -1, míg a második összeg első tagja +1, így ezek kiejtik egymást. A második tagok (i=1 eset) összege

56.5+54.5=55.26,

ami osztható 55-nel, de nem osztható 56-nal.

Megmutatjuk, hogy i\ge2 esetén \binom{5^6}{i}5^i(-1)^{5^6-i} és \binom{5^4}{i}5^i is osztható 56-nal. Ez nyilvánvaló, ha i\ge6. Ha 2\lei\le4, akkor

\binom{5^k}{i}=\frac{5^k(5^k-1)\ldots(5^k-i+1)}{i!}

osztható 5k-nal, ezért \binom{5^6}{i}5^i(-1)^{5^6-i} és \binom{5^4}{i}5^i is osztható 56-nal. Végül i=5 esetén elég ellenőrizni, hogy \binom{5^6}{i} és \binom{5^4}{i} is osztható 5-tel, ami viszont következik abból, hogy

\binom{5^k}{5}=\frac{5^k(5^k-1)\ldots(5^k-4)}{5!}

osztható 5k-1-nel.

Ezzel beláttuk, hogy a 456+654 szám osztható 55-nel, de nem osztható 56-nal. Mivel nyilván osztható 254-nel, és így 25-nel is, a szám osztható 105-nel, de nem osztható 106-nal, vagyis pontosan 5 darab nullára végződik.


Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Forrás Bence, Géczi Péter Attila, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Mester Márton, Mócsy Miklós, Nagy Anna Noémi, Ódor Gergely, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Weisz Ambrus.
3 pontot kapott:Homonnay Bálint, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Zilahi Tamás.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:21 versenyző.

A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai