Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4452. (May 2012)

B. 4452. Let t>0 be a real number, and let Ti denote the sum t^{i}+\frac{1}{t^{i}} (for all positive integers i). Prove that T_{1}T_{2}T_{4}\ldots
T_{2^{k-1}}=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1} for all positive integers k.

Suggested by J. Pataki, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on June 11, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az állítást k szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha k=1, akkor az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy az állítást valamely k pozitív egészre már beláttuk. Mivel

T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1}=
(t^1+t^{-1})+(t^3+t^{-3})+\ldots+(t^{2^{k}-1}+t^{-(2^k-1)}),

az indukciós feltevés szerint

T_{1}T_{2}T_{4}\ldots T_{2^{k-1}}T_{2^k}=
(T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1})(t^{2^k}+{t^{-2^k}})=

=t^{-2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})+
t^{2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})=

=(t^{-(2^{k+1}-1)}+t^{-(2^{k+1}-3)}+\ldots+t^{-1})+
(t^{1}+t^{3}+\ldots+t^{2^{k+1}-1})=

=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k+1}-3}+T_{2^{k+1}-1},

ami az állítást k helyett k+1 esetén is igazolja.


Statistics:

75 students sent a solution.
3 points:64 students.
2 points:8 students.
1 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012