KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4452. (May 2012)

B. 4452. Let t>0 be a real number, and let Ti denote the sum t^{i}+\frac{1}{t^{i}} (for all positive integers i). Prove that T_{1}T_{2}T_{4}\ldots
T_{2^{k-1}}=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1} for all positive integers k.

Suggested by J. Pataki, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on 11 June 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az állítást k szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha k=1, akkor az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy az állítást valamely k pozitív egészre már beláttuk. Mivel

T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1}=
(t^1+t^{-1})+(t^3+t^{-3})+\ldots+(t^{2^{k}-1}+t^{-(2^k-1)}),

az indukciós feltevés szerint

T_{1}T_{2}T_{4}\ldots T_{2^{k-1}}T_{2^k}=
(T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1})(t^{2^k}+{t^{-2^k}})=

=t^{-2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})+
t^{2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})=

=(t^{-(2^{k+1}-1)}+t^{-(2^{k+1}-3)}+\ldots+t^{-1})+
(t^{1}+t^{3}+\ldots+t^{2^{k+1}-1})=

=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k+1}-3}+T_{2^{k+1}-1},

ami az állítást k helyett k+1 esetén is igazolja.


Statistics:

75 students sent a solution.
3 points:64 students.
2 points:8 students.
1 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley