KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4452. Let t>0 be a real number, and let Ti denote the sum t^{i}+\frac{1}{t^{i}} (for all positive integers i). Prove that T_{1}T_{2}T_{4}\ldots
T_{2^{k-1}}=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1} for all positive integers k.

Suggested by J. Pataki, Budapest

(3 points)

Deadline expired on 11 June 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az állítást k szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha k=1, akkor az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy az állítást valamely k pozitív egészre már beláttuk. Mivel

T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1}=
(t^1+t^{-1})+(t^3+t^{-3})+\ldots+(t^{2^{k}-1}+t^{-(2^k-1)}),

az indukciós feltevés szerint

T_{1}T_{2}T_{4}\ldots T_{2^{k-1}}T_{2^k}=
(T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1})(t^{2^k}+{t^{-2^k}})=

=t^{-2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})+
t^{2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})=

=(t^{-(2^{k+1}-1)}+t^{-(2^{k+1}-3)}+\ldots+t^{-1})+
(t^{1}+t^{3}+\ldots+t^{2^{k+1}-1})=

=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k+1}-3}+T_{2^{k+1}-1},

ami az állítást k helyett k+1 esetén is igazolja.


Statistics on problem B. 4452.
75 students sent a solution.
3 points:64 students.
2 points:8 students.
1 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley