KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4454. In a parallelogram ABCD, AB>BC. Construct that point P in the interior of the parallelogram for which \angleAPD+\angleBPC=180o and \anglePAB+\anglePDA=90o.

(4 points)

Deadline expired on 11 June 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Toljuk el a P pontot a \ora{BA} vektorral a Q pontba. Mivel P a paralelogramma belsejében van, az AD és PQ szakaszok metszik egymást. Lévén AQD\sph=BPC\sph, az első feltétel szerint APD\sphericalangle+AQD\sphericalangle =180^{\circ}, ami azt jelenti, hogy az APDQ négyszög húrnégyszög. Ennélfogva QDA\sph=QPA\sph=PAB\sph, vagyis a második feltétel szerint QDP\sph=QDA\sphericalangle + PDA\sphericalangle =90^{\circ}. Az AB-vel megegyező hosszúságú PQ szakasz tehát a Thalesz-tétel megfordítása szerint az APDQ négyszög köré írható kör egyik átmérője.

Ennek alapján a szerkesztést a következőképpen hajthatjuk végre. Először megszerkesztünk egy olyan kört, amely áthalad az A,D pontokon, sugara pedig fele az AB szakasz hosszának. Az AB>BC feltétel miatt ilyen kör létezik, mégpedig kettő is, és azok az AD szakasz felezőpontjára szimmetrikusan helyezkednek el. Ezután megszerkesztjük a körnek AB-vel párhuzamos átmérőjét; ennek a paralelogramma belsejébe eső végpontja lehet csak a keresett P pont. A fentiekből világos, hogy az így nyert pont valóban megoldása a feladatnak.

A feladatnak tehát pontosan akkor van, mégpedig két megoldása, ha a szóban forgó átmérő az AB és CD egyenesek közé esik, ami ekvivalens azzal, hogy AD>AB\cdot|\ctg DAB\sph|.


Statistics on problem B. 4454.
36 students sent a solution.
4 points:Antal Dóra, Balogh Artúr György, Bősze Zsuzsanna, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Mogyorósi Ferenc, Nagy Róbert, Nemes György, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Zilahi Tamás.
3 points:Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsófia, Englert Franciska, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Nguyen Anh Tuan, Trócsányi Péter, Weimann Richárd.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley