KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4454. Az ABCD paralelogrammában AB>BC. Szerkesszük meg a paralelogramma belsejében azt a P pontot, amelyre


APD\sphericalangle + BPC\sphericalangle = {180}^{\circ}

és


PAB\sphericalangle + PDA\sphericalangle ={90}^{\circ}.

(4 pont)

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Toljuk el a P pontot a \ora{BA} vektorral a Q pontba. Mivel P a paralelogramma belsejében van, az AD és PQ szakaszok metszik egymást. Lévén AQD\sph=BPC\sph, az első feltétel szerint APD\sphericalangle+AQD\sphericalangle =180^{\circ}, ami azt jelenti, hogy az APDQ négyszög húrnégyszög. Ennélfogva QDA\sph=QPA\sph=PAB\sph, vagyis a második feltétel szerint QDP\sph=QDA\sphericalangle + PDA\sphericalangle =90^{\circ}. Az AB-vel megegyező hosszúságú PQ szakasz tehát a Thalesz-tétel megfordítása szerint az APDQ négyszög köré írható kör egyik átmérője.

Ennek alapján a szerkesztést a következőképpen hajthatjuk végre. Először megszerkesztünk egy olyan kört, amely áthalad az A,D pontokon, sugara pedig fele az AB szakasz hosszának. Az AB>BC feltétel miatt ilyen kör létezik, mégpedig kettő is, és azok az AD szakasz felezőpontjára szimmetrikusan helyezkednek el. Ezután megszerkesztjük a körnek AB-vel párhuzamos átmérőjét; ennek a paralelogramma belsejébe eső végpontja lehet csak a keresett P pont. A fentiekből világos, hogy az így nyert pont valóban megoldása a feladatnak.

A feladatnak tehát pontosan akkor van, mégpedig két megoldása, ha a szóban forgó átmérő az AB és CD egyenesek közé esik, ami ekvivalens azzal, hogy AD>AB\cdot|\ctg DAB\sph|.


A B. 4454. feladat statisztikája
36 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Antal Dóra, Balogh Artúr György, Bősze Zsuzsanna, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Mogyorósi Ferenc, Nagy Róbert, Nemes György, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Zilahi Tamás.
3 pontot kapott:Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsófia, Englert Franciska, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Nguyen Anh Tuan, Trócsányi Péter, Weimann Richárd.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.


  • A KöMaL 2012. májusi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley