Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4455. (May 2012)

B. 4455. Consider a finite set of positive numbers such that no number is greater than the sum of the other numbers. Prove that it is possible to partition the numbers into two sets such that the sum of the numbers in one set is at most twice the sum of the numbers in the other set.

A problem by Paul Erdős, 1913-1996

(3 pont)

Deadline expired on June 11, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a számok a_1\le a_2\le \ldots\le a_n, összegüket pedig jelölje s. A feltétel szerint an\les-an, tehát an\les/2. Legyen k a legnagyobb index, amelyre s_k=a_n+a_{n-1}+\ldots +a_k\ge s/3 teljesül. Ha k=n, akkor s/3\lesn=an<2s/3, ha pedig k<n, vagyis az összes szám kisebb, mint s/3, akkor s/3\lesk=sk+1+ak<s/3+s/3=2s/3. Ez pedig azt jelenti, hogy ha az egyik részbe az a_n,\ldots,a_k számokat tesszük, a többit pedig a másikba, akkor mindkét részben a számok összege s/3 és annak kétszerese közé fog esni, amiből az állítás leolvasható.


Statistics:

56 students sent a solution.
3 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Árkos Gergely, Badacsonyi István András, Bingler Arnold, Csernák Tamás, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Leitereg András, Maga Balázs, Makk László, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Mogyorósi Ferenc, Nagy Róbert, Papp Roland, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Talyigás Gergely, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
2 points:12 students.
1 point:1 student.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012