Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4456. (May 2012)

B. 4456. Let f be a real function defined on the set of positive real numbers such that f\big(\sqrt{xy}\,\big) = f\left(\frac{x+y}{2}\right) for all x,y>0. Prove that f is a constant function.

Suggested by Z. Daróczy, Debrecen

(3 pont)

Deadline expired on June 11, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tetszőleges 0<v<1 esetén legyen x=1-u és y=1+u, ahol 0<u=\sqrt{(1-v^2)}<1. Ekkor

f(1)=f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f\big(\sqrt{xy}\,\big)=
f\big(\sqrt{1-u^2}\,\big)=f(v),

vagyis f konstans a (0,1] intervallumon. Ahhoz, hogy belássuk, hogy f az [1,\infty] intervallumon, következésképpen a teljes értelmezési tartományon konstans, elegendő minden 1<a számhoz találni olyan x pozitív számot melyre x+1/x=2a, ekkor ugyanis az y=1/x választással

f(1)=f\big(\sqrt{xy}\,\big)=f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f(a)

fog teljesülni. Ehhez az x2-2ax+1=0 másodfokú egyenletet kell megoldanunk. Az egyenlet gyökei a\pm\sqrt{a^2-1}. Mivel ezek pozitív számok, bármelyikük választható x-nek (a másik pedig y=1/x-nek).


Statistics:

76 students sent a solution.
3 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Almási Péter, Árkos Gergely, Babik Bálint, Badacsonyi István András, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Csernák Tamás, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Győrfi 946 Mónika, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Jávorszky Natasa, Kaprinai Balázs, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Makk László, Medek Ákos, Mester Márton, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Solti Bálint, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Thamó Emese, Tossenberger Tamás, Varga 911 Szabolcs, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
2 points:12 students.
1 point:5 students.
0 point:13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012