KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A B. 4456. feladat (2012. május)

B. 4456. Legyen f a pozitív valós számok halmazán értelmezett olyan valós értékű függvény, amelyre


f\big(\sqrt{xy}\,\big) = f\left(\frac{x+y}{2}\right)

teljesül minden x,y>0 értékre. Bizonyítsuk be, hogy f konstans.

Javasolta: Daróczy Zoltán (Debrecen)

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Tetszőleges 0<v<1 esetén legyen x=1-u és y=1+u, ahol 0<u=\sqrt{(1-v^2)}<1. Ekkor

f(1)=f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f\big(\sqrt{xy}\,\big)=
f\big(\sqrt{1-u^2}\,\big)=f(v),

vagyis f konstans a (0,1] intervallumon. Ahhoz, hogy belássuk, hogy f az [1,\infty] intervallumon, következésképpen a teljes értelmezési tartományon konstans, elegendő minden 1<a számhoz találni olyan x pozitív számot melyre x+1/x=2a, ekkor ugyanis az y=1/x választással

f(1)=f\big(\sqrt{xy}\,\big)=f\left(\frac{x+y}{2}\right)=f(a)

fog teljesülni. Ehhez az x2-2ax+1=0 másodfokú egyenletet kell megoldanunk. Az egyenlet gyökei a\pm\sqrt{a^2-1}. Mivel ezek pozitív számok, bármelyikük választható x-nek (a másik pedig y=1/x-nek).


Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Almási Péter, Árkos Gergely, Babik Bálint, Badacsonyi István András, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Csernák Tamás, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Győrfi 946 Mónika, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Jávorszky Natasa, Kaprinai Balázs, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Makk László, Medek Ákos, Mester Márton, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Papp Roland, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Solti Bálint, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Thamó Emese, Tossenberger Tamás, Varga 911 Szabolcs, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Zilahi Tamás.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley