Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4457. (May 2012)

B. 4457. How long is the shortest line segment that halves the area of the triangle with sides 3, 4 and 5?

(4 pont)

Deadline expired on June 11, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy a PQ szakasz felezi az ABC háromszög területét, ahol P az AB, Q pedig az AC oldalra esik. Ha az X pontnak az A csúcstól mért távolságát x-szel jelöljük, akkor pq=bc/2. Az A csúcsnál lévő szöget \alpha-val jelölve a koszinusz-tétel szerint

PQ=\sqrt{p^2+q^2-2pq\cos \alpha}\ge \sqrt{2pq(1-\cos\alpha)}=
\sqrt{bc(1-\cos\alpha)},

ahol egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha p=q=\sqrt{bc/2}. Ha a b,c oldalak közül egyik sem hosszabb a másik kétszeresénél, akkor ez be is következhet, hiszen ekkor \sqrt{bc/2} sem b-nél, sem c-nél nem nagyobb.

Ez a feltétel az adott háromszög bármely oldalpárjára teljesül. Figyelembe véve, hogy a háromszög három szögének koszinusza 0, 3/5, illetve 4/5, feladatunk már csak anynyi, hogy a \sqrt{3\cdot4\cdot(1-0)}=\sqrt{12}, \sqrt{3\cdot 5\cdot(1-3/5)}=\sqrt{6} és a \sqrt{4\cdot 5\cdot(1-4/5)}=2 számok közül kiválasszuk a legkisebbet. Ezek szerint a háromszög területét felező szakaszok közül a legrövidebbnek a hossza 2 egység.


Statistics:

68 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Csuma-Kovács Ádám, Di Giovanni Márk, Dóka Tamás, Emri Tamás, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kabos Eszter, Kovács-Deák Máté, Leitereg András, Leitereg Miklós, Lelkes János, Maga Balázs, Makk László, Medek Ákos, Mester Márton, Mihálykó András, Mócsy Miklós, Molnár Ákos, Nagy-György Pál, Németh 722 Noémi, Onódi Péter, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Varga 911 Szabolcs, Viharos Andor, Wiandt Péter, Zahemszky Péter, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 points:9 students.
2 points:9 students.
1 point:2 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012