KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4459. For x>1, let A(x) denote the sum of reciprocals of the positive square-free numbers less than x, and let B(x) denote the sum of reciprocals of the non-square-free positive numbers less than x. Prove that A(x)>B(x).

Suggested by P. Maga)

(4 points)

Deadline expired on 11 June 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen n egy pozitív nem-négyzetmentes szám. Ekkor egyértelműen létezik egy 1-nél nagyobb, de \sqrt{n}-nél nem nagyobb k egész szám és egy m pozitív négyzetmentes szám úgy, hogy n=k2m. Megfordítva, egy k2m alakú szám, ahol m pozitív négyszetmentes szám, k pedig 1-nél nagyobb egész szám, mindig pozitív nem-négyzetmentes szám lesz. Ennélfogva felírható, hogy

B(x)=\sum_{k=2}^N \frac{1}{k^2}A\left(\frac{x}{k^2}\right),

ahol N\ge1 a \sqrt{x}-nél kisebb egész számok közül a legnagyobbat jelöli. Felhasználva, hogy 1<y<x esetén 1\leA(y)\leA(x),

B(x)\le \sum_{k=2}^N \frac{1}{k^2}A(x)\le
\sum_{k=2}^N \frac{1}{k(k-1)}A(x)=
\sum_{k=2}^N \left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)A(x)=

=\left(1-\frac{1}{N}\right)A(x)<A(x).


Statistics on problem B. 4459.
17 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Di Giovanni Márk, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Mester Márton, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Tossenberger Tamás.
3 points:Énekes Tamás.
2 points:1 student.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley