KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4463. (September 2012)

B. 4463. In the Four-square Round Forest, trees form a regular triangular lattice. Is it possible to build a fence around a rectangular part of the forest such that the vertices of the rectangle are lattice points and the number of lattice points on the boundary of the rectangle is the same as in the interior?

(4 pont)

Deadline expired on 10 October 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Igen (feltéve, hogy az erdő elég nagy). Egy ilyen elkerített rész látható az ábrán, ahol mind a téglalap határán, mind annak belsejében egyaránt 14 fa áll.

Ezt a téglalapot az alábbi gondolatmenettel találhatjuk meg. Legyen a rácspontok távolsága egységnyi és kerítsünk körbe egy (k\times \sqrt{3}n)-es téglalapot úgy, hogy k,n pozitív egészek és a k hosszú oldalakon, a végpontokat is beleértve, egyenként k+1 rácspont van. Ekkor az összes bekerített rácspont száma (k+1)(n+1)+kn, a határon lévők száma pedig 2(k+n), vagyis a (k+1)(n+1)+kn=4(k+n) egyenletet kell megoldanunk. Ez ekvivalens a (3k-1)(3n-1)=7kn egyenlettel, ahol 3k-1 relatív prím k-hoz, 3n-1 pedig n-hez. Tehát vagy k=3n-1 és 3k-1=7n, vagy fordítva. Az első esetben n=2 és k=5, ez látható az ábrán.


Statistics:

209 students sent a solution.
4 points:65 students.
3 points:27 students.
2 points:78 students.
1 point:20 students.
0 point:19 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley