KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4466. (September 2012)

B. 4466. Is there a positive integer n such that each root of the equation (4n2-1)x2-4n2x+n2=0 can be represented as a finite decimal?

(3 pont)

Deadline expired on 10 October 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jegyezzük meg, hogy ha n egész szám, akkor 4n2-1\ne0, vagyis másodfokú egyenletről van szó. Az egyenlet gyökei a megoldóképlet szerint

\frac{4n^2\pm \sqrt{16n^4-4n^2(4n^2-1)}}{2(4n^2-1)}=
\frac{2n^2\pm n}{(2n-1)(2n+1)},

vagyis a gyökök

x_1=\frac{n}{2n-1} \quad \hbox{\rm \'es}\quad x_2=\frac{n}{2n+1}.

Ha mindkét szám felírható véges tizedestört alakban úgy, hogy a tizedesvessző után csak legfeljebb k számjegy áll, akkor lévén mindkét nevező relatív prím a számlálóhoz, mindkét nevező osztója kell legyen 10k-nak. Mivel ezek páratlan pozitív számok, mindkettő 5m alakú kell legyen, ahol m nemnegatív egész szám. Két ilyen szám különbsége viszont nem lehet 2, tehát nincsen ilyen n egész szám.


Statistics:

275 students sent a solution.
3 points:Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czövek Márton, Dinev Georgi, Jákli Aida Karolina, Khayouti Sára, Kovács Balázs Marcell, Nemecskó István, Papp Roland, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Williams Kada, Zahemszky Péter, Zsakó Ágnes.
2 points:127 students.
1 point:57 students.
0 point:64 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley