Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4466. (September 2012)

B. 4466. Is there a positive integer n such that each root of the equation (4n2-1)x2-4n2x+n2=0 can be represented as a finite decimal?

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jegyezzük meg, hogy ha n egész szám, akkor 4n2-1\ne0, vagyis másodfokú egyenletről van szó. Az egyenlet gyökei a megoldóképlet szerint

\frac{4n^2\pm \sqrt{16n^4-4n^2(4n^2-1)}}{2(4n^2-1)}=
\frac{2n^2\pm n}{(2n-1)(2n+1)},

vagyis a gyökök

x_1=\frac{n}{2n-1} \quad \hbox{\rm \'es}\quad x_2=\frac{n}{2n+1}.

Ha mindkét szám felírható véges tizedestört alakban úgy, hogy a tizedesvessző után csak legfeljebb k számjegy áll, akkor lévén mindkét nevező relatív prím a számlálóhoz, mindkét nevező osztója kell legyen 10k-nak. Mivel ezek páratlan pozitív számok, mindkettő 5m alakú kell legyen, ahol m nemnegatív egész szám. Két ilyen szám különbsége viszont nem lehet 2, tehát nincsen ilyen n egész szám.


Statistics:

274 students sent a solution.
3 points:Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czövek Márton, Dinev Georgi, Jákli Aida Karolina, Khayouti Sára, Kovács Balázs Marcell, Nemecskó István, Papp Roland, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Williams Kada, Zahemszky Péter, Zsakó Ágnes.
2 points:127 students.
1 point:57 students.
0 point:64 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012