Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4467. (September 2012)

B. 4467. Solve the equation \sqrt{x}=x^{2}-3x+1 +|x-1|.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet pontosan akkor értelmezhető, ha x\ge0. Különböztessünk meg két esetet. Az x\ge1 esetben az egyenlet \sqrt{x}=x^2-2x alakba írható. Szükségképpen x2-2x=x(x-2)\ge0, vagyis x\ge2. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott x=x2(x-2)2 egyenlettel. Mivel x\ne0, ezzel leoszthatunk. átrendezve az x3-4x2+4x-1=0 egyenletet kapjuk. Mivel x\ne1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x2-3x+1 egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei (3\pm\sqrt{5})/2, ezek közül azonban csak az x=(3+\sqrt{5})/2 elégíti ki az x\ge2 feltételt.

A másik esetben 0\lex<1, ekkor egyenletünk \sqrt{x}=x^2-4x+2. Most szükséges, hogy x2-4x+2=(x-2)2-2\ge0 legyen. Az x-2\ge \sqrt{2} lehetőséget a 0\lex<1 feltétel kizárja, tehát most x-2\le -\sqrt{2}, vagyis 0\le x\le 2 -\sqrt{2}. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens az x=(x2-4x+2)2 egyenlettel. átrendezve az x4-8x3+20x2-17x+4=0 egyenletet kapjuk. Mivel x\ne1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x3-7x2+13x-4=0 egyenletet kell megoldanunk. Mivel x\ne4, (x-4)-gyel is leoszthatunk, így az egyenlet az x2-3x+1=0 alakot ölti. Ennek gyökei közül azonban csak az x=(3-\sqrt{5})/2 elégíti ki a 0\le x\le 2 -\sqrt{2} feltételt.

A feladatnak tehát két megoldása van: x_{1,2}=(3\pm\sqrt{5})/2.


Statistics:

249 students sent a solution.
5 points:154 students.
4 points:21 students.
3 points:26 students.
2 points:22 students.
1 point:11 students.
0 point:15 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012