KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4467. Solve the equation \sqrt{x}=x^{2}-3x+1 +|x-1|.

(5 points)

Deadline expired on 10 October 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyenlet pontosan akkor értelmezhető, ha x\ge0. Különböztessünk meg két esetet. Az x\ge1 esetben az egyenlet \sqrt{x}=x^2-2x alakba írható. Szükségképpen x2-2x=x(x-2)\ge0, vagyis x\ge2. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott x=x2(x-2)2 egyenlettel. Mivel x\ne0, ezzel leoszthatunk. átrendezve az x3-4x2+4x-1=0 egyenletet kapjuk. Mivel x\ne1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x2-3x+1 egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei (3\pm\sqrt{5})/2, ezek közül azonban csak az x=(3+\sqrt{5})/2 elégíti ki az x\ge2 feltételt.

A másik esetben 0\lex<1, ekkor egyenletünk \sqrt{x}=x^2-4x+2. Most szükséges, hogy x2-4x+2=(x-2)2-2\ge0 legyen. Az x-2\ge \sqrt{2} lehetőséget a 0\lex<1 feltétel kizárja, tehát most x-2\le -\sqrt{2}, vagyis 0\le x\le 2 -\sqrt{2}. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens az x=(x2-4x+2)2 egyenlettel. átrendezve az x4-8x3+20x2-17x+4=0 egyenletet kapjuk. Mivel x\ne1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x3-7x2+13x-4=0 egyenletet kell megoldanunk. Mivel x\ne4, (x-4)-gyel is leoszthatunk, így az egyenlet az x2-3x+1=0 alakot ölti. Ennek gyökei közül azonban csak az x=(3-\sqrt{5})/2 elégíti ki a 0\le x\le 2 -\sqrt{2} feltételt.

A feladatnak tehát két megoldása van: x_{1,2}=(3\pm\sqrt{5})/2.


Statistics on problem B. 4467.
249 students sent a solution.
5 points:154 students.
4 points:21 students.
3 points:26 students.
2 points:22 students.
1 point:11 students.
0 point:15 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley