Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4468. (September 2012)

B. 4468. Consider two circular discs that have no common points. The circle drawn on the line segment connecting their centres as diameter intersects each of the common exterior tangents at two points. Prove that the diagonals of the quadrilateral formed by the four points of intersection are the common interior tangents.

Suggested by V. Gedeon, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A körök közös belső érintői a külső érintőket két-két pontban metszik. A bizonyítandó állítást úgy is fogalmazhatjuk, hogy ezen négy pont mindegyike a körök középpontjait összekötő szakasz, mint átmérő fölé rajzolt körvonalra esik. Szimmetria okok miatt ezt elég az egyik metszéspontra igazolni, melyet jelöljön M.

Az ábra jelöléseivel legyen GO_1O_2\sph=HO_2O_1\sph=\alpha, FO_2O_1\sph=180^\circ-EO_1O_2\sph=\beta. Ha a két kör ugyanakkora, akkor \beta derékszög, ha a jobb oldali kör a kisebb, akkor \beta tompaszög, mindenesetre \alpha<\beta<180o-\alpha. Minthogy az O2M egyenes felezi az FO2H szöget, O1M pedig az EO1G szöget,

O_1O_2M\sph=\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha, \qquad
O_2O_1M\sph=\alpha+\frac{(180^\circ-\beta)-\alpha}{2}.

A két szög összege 90o, vagyis az O1O2M háromszög M-nél lévő szöge derékszög. Ez pedig Thalész tétele szerint pontosan azt jelenti, hogy M az O1O2 átmérőjű körvonalra esik.


Statistics:

83 students sent a solution.
5 points:58 students.
4 points:13 students.
3 points:3 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012