KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4468. (September 2012)

B. 4468. Consider two circular discs that have no common points. The circle drawn on the line segment connecting their centres as diameter intersects each of the common exterior tangents at two points. Prove that the diagonals of the quadrilateral formed by the four points of intersection are the common interior tangents.

Suggested by V. Gedeon, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A körök közös belső érintői a külső érintőket két-két pontban metszik. A bizonyítandó állítást úgy is fogalmazhatjuk, hogy ezen négy pont mindegyike a körök középpontjait összekötő szakasz, mint átmérő fölé rajzolt körvonalra esik. Szimmetria okok miatt ezt elég az egyik metszéspontra igazolni, melyet jelöljön M.

Az ábra jelöléseivel legyen GO_1O_2\sph=HO_2O_1\sph=\alpha, FO_2O_1\sph=180^\circ-EO_1O_2\sph=\beta. Ha a két kör ugyanakkora, akkor \beta derékszög, ha a jobb oldali kör a kisebb, akkor \beta tompaszög, mindenesetre \alpha<\beta<180o-\alpha. Minthogy az O2M egyenes felezi az FO2H szöget, O1M pedig az EO1G szöget,

O_1O_2M\sph=\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha, \qquad
O_2O_1M\sph=\alpha+\frac{(180^\circ-\beta)-\alpha}{2}.

A két szög összege 90o, vagyis az O1O2M háromszög M-nél lévő szöge derékszög. Ez pedig Thalész tétele szerint pontosan azt jelenti, hogy M az O1O2 átmérőjű körvonalra esik.


Statistics:

83 students sent a solution.
5 points:58 students.
4 points:13 students.
3 points:3 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley