Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4469. (September 2012)

B. 4469. The interior angle bisectors of triangle ABC intersect the opposite sides at A1, B1, C1. Prove that the area of the triangle A1B1C1 cannot be greater than one fourth of the area of triangle ABC.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az ABC háromszög területe egységnyi, oldalainak hosszát pedig jelölje a szokásos módon a,b,c. A szögfelező-tétel szerint CA1/BA1=b:c, vagyis CA1=ab/(b+c). Hasonlóképpen CB1=ba/(a+c). Mivel absin \gamma=2, az A1B1C háromszög területe ab/(a+c)(b+c). A B1C1A és C1A1B háromszögek területét hasonlóképpen kifejezve a bizonyítandó állítást

\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{bc}{(b+a)(c+a)}+\frac{ca}{(c+b)(a+b)}\ge
\frac{3}{4}

alakba írhatjuk. Mindkét oldalt 4(a+b)(b+c)(c+a)-val szorozva, kifejtés és egyszerűsítés után ezt az

a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2\ge6abc

alakra redukálhatjuk. Mivel (a-b)2\ge0, a2+b2\ge2ab és így a2c+b2c\ge2abc. Hasonlóképpen a2b+c2b\ge2abc és b2a+c2a\ge2abc. Ezt a három egyenlőtlenséget összeadva éppen a bizonyítandó egyenlőtlenséget kapjuk. Az is látszik, hogy egyenlőség csak az a=b=c esetben áll fenn, vagyis ha az ABC háromszög szabályos. Az egyenlőtlenséget úgy is levezethetjük, hogy a bal oldalon álló 6 összeadandóra alkalmazzuk a számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenséget.


Statistics:

87 students sent a solution.
5 points:68 students.
4 points:5 students.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012