KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4469. (September 2012)

B. 4469. The interior angle bisectors of triangle ABC intersect the opposite sides at A1, B1, C1. Prove that the area of the triangle A1B1C1 cannot be greater than one fourth of the area of triangle ABC.

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az ABC háromszög területe egységnyi, oldalainak hosszát pedig jelölje a szokásos módon a,b,c. A szögfelező-tétel szerint CA1/BA1=b:c, vagyis CA1=ab/(b+c). Hasonlóképpen CB1=ba/(a+c). Mivel absin \gamma=2, az A1B1C háromszög területe ab/(a+c)(b+c). A B1C1A és C1A1B háromszögek területét hasonlóképpen kifejezve a bizonyítandó állítást

\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{bc}{(b+a)(c+a)}+\frac{ca}{(c+b)(a+b)}\ge
\frac{3}{4}

alakba írhatjuk. Mindkét oldalt 4(a+b)(b+c)(c+a)-val szorozva, kifejtés és egyszerűsítés után ezt az

a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2\ge6abc

alakra redukálhatjuk. Mivel (a-b)2\ge0, a2+b2\ge2ab és így a2c+b2c\ge2abc. Hasonlóképpen a2b+c2b\ge2abc és b2a+c2a\ge2abc. Ezt a három egyenlőtlenséget összeadva éppen a bizonyítandó egyenlőtlenséget kapjuk. Az is látszik, hogy egyenlőség csak az a=b=c esetben áll fenn, vagyis ha az ABC háromszög szabályos. Az egyenlőtlenséget úgy is levezethetjük, hogy a bal oldalon álló 6 összeadandóra alkalmazzuk a számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenséget.


Statistics:

>
87 students sent a solution.
5 points:68 students.
4 points:5 students.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley