Problem B. 4472. (October 2012)
B. 4472. Prove that the sum of the squares of seven consecutive integers cannot be a perfect square.
(3 pont)
Deadline expired on November 12, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Útmutatás: Az összeg 7-tel osztható, de 49-cel nem.
Megoldás: Ha a középső számot n-nel jelöljük, akkor szóban forgó összeg
(n-3)2+(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2=7(n2+4).
A négyzetszámok 7-tel osztva 0, 1, 2 vagy 4 maradékot adnak, ezért n2+4 nem osztható 7-tel. Ezek szerint a fenti összeg osztható 7-tel, de nem osztható 49-cel, tehát nem lehet négyszetszám.
Statistics:
339 students sent a solution. 3 points: 251 students. 2 points: 23 students. 1 point: 58 students. 0 point: 7 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012