Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4473. (October 2012)

B. 4473. Consider the cubic equation px3-qx2-rx+s=0 where p, q, r, s are positive numbers such that ps=qr. Prove that the equation has two different real roots. On what condition are there three different roots?

(3 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Alakítsunk szorzattá.

Megoldás: Legyen r/p=s/q=\alpha; ez egy pozitív szám. A bal oldali kifejezést szorzattá alakítva az egyenlet (px-q)(x2-\alpha)=0 alakot ölti, melynek mindhárom gyöke valós. A gyökök x1=q/p>0, x_2=\sqrt{\alpha}>0 és x_3=-\sqrt{\alpha}<0. Nyilván x2\nex3, és a 3 gyök pontosan akkor különböző, ha q/p\ne \sqrt{\alpha}, vagyis ha q2\nepr.


Statistics:

146 students sent a solution.
3 points:101 students.
2 points:32 students.
1 point:11 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012