KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4474. (October 2012)

B. 4474. The points K, L, M and N, respectively, lie on sides AB, BC, CD and DA of a square ABCD. Given that \angleKLA=\angleLAM=\angleAMN=45o, prove that KL2+AM2=LA2+MN2.

(4 pont)

Deadline expired on 12 November 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Lássuk be, hogy KB=DN.

Megoldás: Mivel az MAL és az AMN szögek váltószögek, az NM és AL egyenesek párhuzamosak. Ebből következik, hogy az MDN háromszög hasonló az ABL háromszöghöz. Ugyanígy az LBK háromszög hasonló az ADM háromszöghöz.

E két hasonlóság, valamint AB=AD alapján

ND=\frac{MD}{AB}\cdot LB=\frac{LB}{AD}\cdot MD=KB.

Ennélfogva

KL2+AM2=(KB2+LB2)+(AD2+MD2)=

=(AB2+LB2)+(ND2+MD2)=LA2+MN2.


Statistics:

195 students sent a solution.
4 points:127 students.
3 points:27 students.
2 points:20 students.
1 point:14 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley