KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4476. (October 2012)

B. 4476. Prove that there are infinitely many ways to express 169 as a sum of the squares of two rational numbers.

(4 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Pitagoraszi számhármasok.

Megoldás: Tekintsük az a=2k+1, b=2k2+2k, c=2k2+2k+1 számokat, ahol k pozitív egész szám; ekkor a2+b2=c2. Az a és c számok relatív prímek, hiszen ha d mindkettőnek osztója, akkor osztója a c-ka=k+1 számnak, és ennélfogva 2(k+1)-a=1-nek is. Továbbá a<b, így az (a/c)2+(b/c)2=1 előállítások mind különbözőek. Ennélfogva a

169=\left(\frac{13(2k+1)}{2k^2+2k+1}\right)^2+
\left(\frac{13(2k^2+2k)}{2k^2+2k+1}\right)^2

felírásokkal a 169-et végtelen sokféleképpen felbontottuk két racionális szám négyzetének összegére.


Statistics:

175 students sent a solution.
4 points:83 students.
3 points:35 students.
2 points:9 students.
1 point:6 students.
0 point:42 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley