Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4476. (October 2012)

B. 4476. Prove that there are infinitely many ways to express 169 as a sum of the squares of two rational numbers.

(4 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Pitagoraszi számhármasok.

Megoldás: Tekintsük az a=2k+1, b=2k2+2k, c=2k2+2k+1 számokat, ahol k pozitív egész szám; ekkor a2+b2=c2. Az a és c számok relatív prímek, hiszen ha d mindkettőnek osztója, akkor osztója a c-ka=k+1 számnak, és ennélfogva 2(k+1)-a=1-nek is. Továbbá a<b, így az (a/c)2+(b/c)2=1 előállítások mind különbözőek. Ennélfogva a

169=\left(\frac{13(2k+1)}{2k^2+2k+1}\right)^2+
\left(\frac{13(2k^2+2k)}{2k^2+2k+1}\right)^2

felírásokkal a 169-et végtelen sokféleképpen felbontottuk két racionális szám négyzetének összegére.


Statistics:

175 students sent a solution.
4 points:83 students.
3 points:35 students.
2 points:9 students.
1 point:6 students.
0 point:42 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012