KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4476. Prove that there are infinitely many ways to express 169 as a sum of the squares of two rational numbers.

(4 points)

Deadline expired on 12 November 2012.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Útmutatás: Pitagoraszi számhármasok.

Megoldás: Tekintsük az a=2k+1, b=2k2+2k, c=2k2+2k+1 számokat, ahol k pozitív egész szám; ekkor a2+b2=c2. Az a és c számok relatív prímek, hiszen ha d mindkettőnek osztója, akkor osztója a c-ka=k+1 számnak, és ennélfogva 2(k+1)-a=1-nek is. Továbbá a<b, így az (a/c)2+(b/c)2=1 előállítások mind különbözőek. Ennélfogva a

169=\left(\frac{13(2k+1)}{2k^2+2k+1}\right)^2+
\left(\frac{13(2k^2+2k)}{2k^2+2k+1}\right)^2

felírásokkal a 169-et végtelen sokféleképpen felbontottuk két racionális szám négyzetének összegére.


Statistics on problem B. 4476.
175 students sent a solution.
4 points:83 students.
3 points:35 students.
2 points:9 students.
1 point:6 students.
0 point:42 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley