KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4478. (October 2012)

B. 4478. Prove that if \alpha, \beta and \gamma are the angles of an acute-angled triangle then \mathop{\rm tg}\nolimits^3 \alpha +\mathop{\rm tg}\nolimits^3 \beta
+\mathop{\rm tg}\nolimits^3 \gamma \ge 9\sqrt{3}.

(4 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Tangensek összege megegyezik a szorzatukkal.

Megoldás: Az f(x)=tg x függvény a (0,\pi/2) intervallumon pozitív, szigorúan monoton növekedő, alulról konvex függvény. A hatványközepek között fennálló egyenlőtlenséget, majd a Jensen-egyenlőtlenséget alkalmazva

\frac{\tg^3 \alpha +\tg^3 \beta +\tg^3 \gamma}{3}\ge
\left(\frac{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma}{3}\right)^3\ge
\tg^3\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\tg^3(\pi/3)=3\sqrt{3},

ahonnan a bizonyítandó állítás leolvasható. Egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha \alpha=\beta=\gamma=\pi/3, vagyis ha a háromszög szabályos.


Statistics:

111 students sent a solution.
4 points:Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Khayouti Sára, Kling József, Kovács Balázs Marcell, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Papp Roland, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Pusztaházi 124 Luca Sára, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Sticza Gergő, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Szaksz Bence, Szőke Tamás, Tulassay Zsolt, Varga 149 Imre Károly, Varga Zoltán Attila, Venczel Tünde, Vető Bálint, Wiandt Zsófia, Williams Kada, Zilahi Tamás.
3 points:47 students.
2 points:3 students.
1 point:13 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley