Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4478. (October 2012)

B. 4478. Prove that if \alpha, \beta and \gamma are the angles of an acute-angled triangle then \mathop{\rm tg}\nolimits^3 \alpha +\mathop{\rm tg}\nolimits^3 \beta
+\mathop{\rm tg}\nolimits^3 \gamma \ge 9\sqrt{3}.

(4 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Tangensek összege megegyezik a szorzatukkal.

Megoldás: Az f(x)=tg x függvény a (0,\pi/2) intervallumon pozitív, szigorúan monoton növekedő, alulról konvex függvény. A hatványközepek között fennálló egyenlőtlenséget, majd a Jensen-egyenlőtlenséget alkalmazva

\frac{\tg^3 \alpha +\tg^3 \beta +\tg^3 \gamma}{3}\ge
\left(\frac{\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma}{3}\right)^3\ge
\tg^3\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\tg^3(\pi/3)=3\sqrt{3},

ahonnan a bizonyítandó állítás leolvasható. Egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha \alpha=\beta=\gamma=\pi/3, vagyis ha a háromszög szabályos.


Statistics:

111 students sent a solution.
4 points:Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Khayouti Sára, Kling József, Kovács Balázs Marcell, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Papp Roland, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Pusztaházi 124 Luca Sára, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Sticza Gergő, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Szaksz Bence, Szőke Tamás, Tulassay Zsolt, Varga 149 Imre Károly, Varga Zoltán Attila, Venczel Tünde, Vető Bálint, Wiandt Zsófia, Williams Kada, Zilahi Tamás.
3 points:47 students.
2 points:3 students.
1 point:13 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012