KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4479. (October 2012)

B. 4479. In an isosceles triangle ABC, D and E denote points on the legs AB and AC, respectively, such that AD=BC=EC. What may be the measure of the angle at vertex A if triangle ADE is isosceles?

(6 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Három eset van.

Megoldás: Három esetet különböztetünk meg aszerint, hogy az ADE háromszög mely két oldaláról tesszük fel azt, hogy azok egyenlők. Először tegyük fel, hogy AD=AE. Ekkor AB=AC=2BC, vagyis sin (\alpha/2)=1/4, ahonnan \alpha=2\arcsin\frac{1}{4}\approx 29^\circ, hiszen \alpha/2 hegyesszög. Fordítva, ha sin (\alpha/2)=1/4 teljesül, akkor D és E a két szár felezőpontja lesz és AD=AE is teljesül.

Legyen most AE=ED. Mivel DB=AE, a BDE háromszög is egyenlő szárú. Mivel BDE\sph=180^\circ-\alpha, kapjuk hogy DBE\sph=\alpha/2. A BCE egyenlő szárú háromszögben BCE\sph=90^\circ-\alpha/2, ezért EBC\sph=45^\circ+\alpha/4. Következésképpen

90^\circ-\alpha/2=ABC\sph=DBE\sph+EBC\sph=45^\circ+3\alpha/4,

ahonnan \alpha=36o. A gondolatmenet megfordításával könnyen belátható, hogy \alpha=36o esetén valóban teljesül AE=ED. Az ellenőrzésre egy másik lehetőséget kínál az alábbi szabályos ötszög ábrája.

A legnehezebb az AD=DE eset vizsgálata. Először megmutatjuk, hogy ebben az esetben szükségképpen \alpha=20o. Az ábra jelöléseivel

\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{a}{2(a+x)},\qquad  \frac{x}{2a}=\cos\alpha=
1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}=1-\frac{a^2}{2(a+x)^2}.

Innen x(a+x)2=2a(a+x)2-a3, átrendezve x3-3a2x=a3. Ezt 2a3-bel leosztva a

4\cdot\left(\frac{x}{2a}\right)^3-3\cdot\frac{x}{2a}=\frac{1}{2}

egyenlőséghez jutunk, ahonnan 4cos3\alpha-3cos \alpha=1/2. Felhasználva, hogy cos 3\alpha=4cos3\alpha-3cos \alpha kapjuk, hogy cos 3\alpha=cos 60o. Mivel BC<AB miatt \alpha<60o, innen \alpha=20o adódik. Be kell látnunk még, hogy ez az eset is előfordulhat. Ehhez rögzítsük a B,C csúcsokat, az A csúcsot pedig mozgassuk a BC szakasz felező merőlegesén a BC egyenes valamelyik rögzített oldalán. Kiindulási helyzetként tekintsük az 1. esetet, ekkor DE=BC/2. Végső esetként tekintsük azt, amikor az A pont távolsága a BC egyenestől éppen 3BC; ekkor nyilván DE>BC. Mivel a DE szakasz hossza eközben folytonosan változik, kell legyen egy helyzet, amikor DE=BC=AD. A fentiek értelmében az \alpha szög ekkor csakis 20o-os lehet.

Összefoglalva, a feladatnak három kölönböző megoldása van; az A csúcsnál lévő szög nagyságának lehetséges értékei

\alpha_1=2\arcsin\frac{1}{4}\approx 29^\circ,\quad
\alpha_2=36^\circ,\quad \alpha_3=20^\circ.


Statistics:

163 students sent a solution.
6 points:68 students.
5 points:10 students.
4 points:40 students.
2 points:38 students.
0 point:7 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley