Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4486. (November 2012)

B. 4486. Let a and b be positive integers. How many non-negative integers n are there such that \left[\frac{n}{ab}\right] + \left[\frac{n+b}{ab}\right] +
\left[\frac{n+2b}{ab}\right] + \ldots + \left[\frac{n+(a-1)b}{ab}\right] =
\left[\frac{n}{ab}\right] + \left[\frac{n+a}{ab}\right] +
\left[\frac{n+2a}{ab}\right] +
\ldots + \left[\frac{n+(b-1)a}{ab}\right]? ([x] denotes the greatest integer not greater than x.)

Suggested by R. F. Stöckli, Buenos Aires

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Írjuk föl zárt alakban mindkét oldalt.

Megoldás: Ha a=b, akkor a két oldal azonosan egyenlő, vagyis végtelen sok megoldás van. Tegyük fel tehát, hogy a<b (az a>b esetben az eredmény a és b felcserélésével adódik). Ekkor a jobb oldalon a tagok száma nagyobb, mint a bal oldalon. Továbbá i=1,2,\ldots,a esetén n+(a-i)b<n+(b-i)a, vagyis

\left[\frac{n+(a-i)b}{ab}\right]\le \left[\frac{n+(b-i)a}{ab}\right].

Ezért a bal oldalon álló kifejezés értéke minden n nemnegatív egész szám esetén legfeljebb akkora, mint a jobb oldalon álló kifejezésé. Egyenlőség pedig akkor és csak akkor teljesül, ha minden i=1,2,\ldots,a esetén

\left[\frac{n+(a-i)b}{ab}\right]= \left[\frac{n+(b-i)a}{ab}\right],

és minden i=a+1,\ldots,b esetén

\left[\frac{n+(b-i)a}{ab}\right]=0.

Speciálisan [n/ab]=0, vagyis n<ab. Vegyük észre, hogy minden 0\lei<a, 0\lej<b esetén

|(n+ib)-(n+ja)|=|ib-ja|<ab,

amiért is a szóban forgó egészrészek közül bármely kettő különbsége legfeljebb 1. Mindezek fényében az n szám pontosan akkor elégíti ki az egyenlőséget, ha valamely 0\let\lea egész szám mellett teljesül az, hogy mindkét összeg utolsó t tagja 1-gyel, az összes megelőző pedig 0-val egyenlő. Ez pedig, ugyancsak a fentiek miatt, ekvivalens azzal, hogy alkalmas 0\let\lea egész számmal

\left[\frac{n+(a-t)b}{ab}\right]=1\qquad\hbox{\rm \'es}\qquad
\left[\frac{n+(b-t-1)a}{ab}\right]=0,

vagyis tb\len<(t+1)a. Ez utóbbi halmaz pontosan akkor nem üres, ha t(b-a)<a, vagyis ha t\lem-1, ahol m az a/(b-a) szám felső egészrésze. A megoldások száma pedig

a+(2a-b)+(3a-2b)+\ldots+\bigl(ma-(m-1)b\bigr)=
\frac{m}{2}\bigl(a+b-m(b-a)\bigr).


Statistics:

56 students sent a solution.
5 points:Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Forrás Bence, Hansel Soma, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Qian Lívia, Sal Kristóf, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 points:Homonnay Bálint, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Thamó Emese, Venczel Tünde.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:11 students.
0 point:8 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012