KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4492. Prove that if the natural numbers a and b only differ in the order of their digits then the sum of the digits in the numbers 5a and 5b is the same.

Kvant

(3 points)

Deadline expired on 10 January 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Útmutatás: Hogy számolnánk ki írásban?

Megoldás: Legyen a=\overline{a_na_{n-1}\ldots a_0}. Ekkor 5a számjegyeinek összege f(a_0)+f(a_1)+\ldots+f(a_n), ahol f(0)=0,f(1)=5,f(2)=1,f(3)=6,f(4)=2,f(5)=7,f(6)=3,f(7)=8,f(8)=4 és f(9)=9. Ez az eredmény pedig nyilván nem függ az a szám jegyeinek sorrendjétől.

A fenti képletet könnyen igazolhatjuk n szerinti indukcióval. Ha n=0, akkor az állítás nyilván igaz. Legyen tehát n\ge1, és tegyük fel hogy (n-1)-re az állítás már igazolást nyert. Nyilván 5a=5an.10n+5a', ahol a'=\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots
a_0}. Mivel a'<10n, 5a'<5.10n. Ezért 5a' vagy egy legfeljebb n-jegyű szám (a 0-t is ideértve), vagy egy olyan (n+1)-jegyű szám, melynek első számjegye nem nagyobb, mint 4. Az első esetben az 5a számot úgy kapjuk, hogy az 5an szám után (szükség szerint megfelelő számú 0-val elválasztva) leírjuk az 5a' számot. A számjegyek összegét s-sel jelölve, az indukciós feltevés szerint

s(5a)=s(5a_n)+s(5a')=f(a_n)+s(5a')=f(a_n)+
\big(f(a_0)+f(a_1)+\ldots+f(a_{n-1})\big),

ahogyan azt állítottuk. A második esetben - az 5a' szám első jegyét e-vel jelölve -, az 5a számot úgy kapjuk, hogy az 5an+e szám után leírjuk az 5a' szám fennmaradó n számjegyét. Mivel e\le4, 5an utolsó számjegye pedig 0 vagy 5, s(5an+e)=s(5an)+e. Ezért ismétcsak s(5a)=s(5an+e)+(s(5a')-e)=s(5an)+s(5a').


Statistics on problem B. 4492.
171 students sent a solution.
3 points:74 students.
2 points:37 students.
1 point:41 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley