Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4492. feladat (2012. december)

B. 4492. Bizonyítsuk be, hogy ha az a és b természetes számok csak számjegyeik sorrendjében különböznek egymástól, akkor az 5a és 5b számok számjegyeinek összege egyenlő.

(Kvant)

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

Útmutatás: Hogy számolnánk ki írásban?

Megoldás: Legyen a=\overline{a_na_{n-1}\ldots a_0}. Ekkor 5a számjegyeinek összege f(a_0)+f(a_1)+\ldots+f(a_n), ahol f(0)=0,f(1)=5,f(2)=1,f(3)=6,f(4)=2,f(5)=7,f(6)=3,f(7)=8,f(8)=4 és f(9)=9. Ez az eredmény pedig nyilván nem függ az a szám jegyeinek sorrendjétől.

A fenti képletet könnyen igazolhatjuk n szerinti indukcióval. Ha n=0, akkor az állítás nyilván igaz. Legyen tehát n\ge1, és tegyük fel hogy (n-1)-re az állítás már igazolást nyert. Nyilván 5a=5an.10n+5a', ahol a'=\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_0}. Mivel a'<10n, 5a'<5.10n. Ezért 5a' vagy egy legfeljebb n-jegyű szám (a 0-t is ideértve), vagy egy olyan (n+1)-jegyű szám, melynek első számjegye nem nagyobb, mint 4. Az első esetben az 5a számot úgy kapjuk, hogy az 5an szám után (szükség szerint megfelelő számú 0-val elválasztva) leírjuk az 5a' számot. A számjegyek összegét s-sel jelölve, az indukciós feltevés szerint

s(5a)=s(5a_n)+s(5a')=f(a_n)+s(5a')=f(a_n)+ \big(f(a_0)+f(a_1)+\ldots+f(a_{n-1})\big),

ahogyan azt állítottuk. A második esetben - az 5a' szám első jegyét e-vel jelölve -, az 5a számot úgy kapjuk, hogy az 5an+e szám után leírjuk az 5a' szám fennmaradó n számjegyét. Mivel e\le4, 5an utolsó számjegye pedig 0 vagy 5, s(5an+e)=s(5an)+e. Ezért ismétcsak s(5a)=s(5an+e)+(s(5a')-e)=s(5an)+s(5a').

Statisztika:

170 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:74 versenyző.
2 pontot kapott:36 versenyző.
1 pontot kapott:41 versenyző.
0 pontot kapott:13 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai