KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4493. Let (n,k) denote the greatest common divisor of the positive integers n and k, and let [n,k] denote their least common multiple. Show that, for all positive integers a, b, c, the greatest common divisor of the numbers [a,b], [b,c], [c,a] equals the least common multiple of the numbers (a,b), (b,c), (c,a).

(4 points)

Deadline expired on 10 January 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Útmutatás: Tekintsük a prímtényezős felbontásokat.

Megoldás: Legyenek p_1,p_2,\ldots,p_t azok a prímszámok, melyek az a,b,c számok közül legalább egyet osztanak. Ekkor egyértelműen léteznek olyan \alphai,\betai,\gammai (1\lei\let) nemnegatív egész számok, melyekkel a=\prod_{i=1}^t p_i^{\alpha_i}, b=\prod_{i=1}^t
p_i^{\beta_i}, c=\prod_{i=1}^t p_i^{\gamma_i}. Ezen prímtényezős felbontások szerint az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója d=\prod_{i=1}^t p_i^{\delta_i}, az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszöröse pedig m=\prod_{i=1}^t p_i^{\mu_i} alakú, ahol

\deltai=min {max {\alphai,\betai},max {\betai,\gammai},max {\gammai,\alphai}},

\mui=max {min {\alphai,\betai},min {\betai,\gammai},min {\gammai,\alphai}}.

Elegendő belátni, hogy minden 1\lei\let esetén \deltai=\mui. Rögzített i mellett szimmetria okokból feltehetjük, hogy \alphai\le\betai\le\gammai. Ekkor pedig valóban

\deltai=min {\betai,\gammai,\gammai}=\betai=max {\alphai,\betai,\alphai}=\mui.


Statistics on problem B. 4493.
161 students sent a solution.
4 points:116 students.
3 points:16 students.
2 points:11 students.
1 point:11 students.
0 point:7 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley