KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4493. (December 2012)

B. 4493. Let (n,k) denote the greatest common divisor of the positive integers n and k, and let [n,k] denote their least common multiple. Show that, for all positive integers a, b, c, the greatest common divisor of the numbers [a,b], [b,c], [c,a] equals the least common multiple of the numbers (a,b), (b,c), (c,a).

(4 pont)

Deadline expired on 10 January 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Tekintsük a prímtényezős felbontásokat.

Megoldás: Legyenek p_1,p_2,\ldots,p_t azok a prímszámok, melyek az a,b,c számok közül legalább egyet osztanak. Ekkor egyértelműen léteznek olyan \alphai,\betai,\gammai (1\lei\let) nemnegatív egész számok, melyekkel a=\prod_{i=1}^t p_i^{\alpha_i}, b=\prod_{i=1}^t
p_i^{\beta_i}, c=\prod_{i=1}^t p_i^{\gamma_i}. Ezen prímtényezős felbontások szerint az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója d=\prod_{i=1}^t p_i^{\delta_i}, az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszöröse pedig m=\prod_{i=1}^t p_i^{\mu_i} alakú, ahol

\deltai=min {max {\alphai,\betai},max {\betai,\gammai},max {\gammai,\alphai}},

\mui=max {min {\alphai,\betai},min {\betai,\gammai},min {\gammai,\alphai}}.

Elegendő belátni, hogy minden 1\lei\let esetén \deltai=\mui. Rögzített i mellett szimmetria okokból feltehetjük, hogy \alphai\le\betai\le\gammai. Ekkor pedig valóban

\deltai=min {\betai,\gammai,\gammai}=\betai=max {\alphai,\betai,\alphai}=\mui.


Statistics:

161 students sent a solution.
4 points:116 students.
3 points:16 students.
2 points:11 students.
1 point:11 students.
0 point:7 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley