Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4493. (December 2012)

B. 4493. Let (n,k) denote the greatest common divisor of the positive integers n and k, and let [n,k] denote their least common multiple. Show that, for all positive integers a, b, c, the greatest common divisor of the numbers [a,b], [b,c], [c,a] equals the least common multiple of the numbers (a,b), (b,c), (c,a).

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Tekintsük a prímtényezős felbontásokat.

Megoldás: Legyenek p_1,p_2,\ldots,p_t azok a prímszámok, melyek az a,b,c számok közül legalább egyet osztanak. Ekkor egyértelműen léteznek olyan \alphai,\betai,\gammai (1\lei\let) nemnegatív egész számok, melyekkel a=\prod_{i=1}^t p_i^{\alpha_i}, b=\prod_{i=1}^t
p_i^{\beta_i}, c=\prod_{i=1}^t p_i^{\gamma_i}. Ezen prímtényezős felbontások szerint az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója d=\prod_{i=1}^t p_i^{\delta_i}, az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszöröse pedig m=\prod_{i=1}^t p_i^{\mu_i} alakú, ahol

\deltai=min {max {\alphai,\betai},max {\betai,\gammai},max {\gammai,\alphai}},

\mui=max {min {\alphai,\betai},min {\betai,\gammai},min {\gammai,\alphai}}.

Elegendő belátni, hogy minden 1\lei\let esetén \deltai=\mui. Rögzített i mellett szimmetria okokból feltehetjük, hogy \alphai\le\betai\le\gammai. Ekkor pedig valóban

\deltai=min {\betai,\gammai,\gammai}=\betai=max {\alphai,\betai,\alphai}=\mui.


Statistics:

161 students sent a solution.
4 points:116 students.
3 points:16 students.
2 points:11 students.
1 point:11 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012