KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4494. (December 2012)

B. 4494. F is the midpoint of base BC of the isosceles triangle ABC. D  is an interior point of the line segment BF. The perpendicular dropped from point D onto BC intersects side AB at M, and the line through point D, parallel to AB intersects side AC at P. Express the ratio of the areas of triangles AMP and ABC in terms of k=BD:BC.

Matlap, Cluj-Napoca - Kolozsvár, Romania

(3 pont)

Deadline expired on 10 January 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Fejezzük ki a területeket két oldal és a közbezárt szög segítségével.

Megoldás: A párhuzamos szelők tétele szerint AP:AC=BD:BC=k. Mivel AF párhuzamos MD-vel, AM:AB=FD:FB=\left(\frac{1}{2}-k\right):\frac{1}{2}. Az AMP és ABC háromszögek A-nál lévő szöge megegyezik, ezért a két háromszög területének aránya

\frac{AP}{AC}\cdot\frac{AM}{AB}=k(1-2k)=k-2k^2.


Statistics:

144 students sent a solution.
3 points:121 students.
2 points:14 students.
1 point:4 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley