KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4495. (December 2012)

B. 4495. Given the parallelogram ABCD and points F and G, such that AF=FC, BG=GD and given that triangles AFC and BGD are similar, prove that the line FG is perpendicular to a side of the parallelogram.

Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom

(5 pont)

Deadline expired on 10 January 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Milyen forgatva nyújtás viszi az AC szakaszt az AF szakaszba? (Kiszámolhatjuk komplex számokkal is.)

Megoldás: Az átlók metszéspontját jelölje M. Az F pont az AC átló, G pedig a BD átló felező merőlegesén helyezkedik el. Mivel FM:MC=GM:MD, az FMG háromszöget az M pontból alkalmas nagyítással egy olyan F'MG' háromszögbe vihetjük, melyre F'M=MC és G'M=MD. Ekkor F'G' párhuzamos FG-vel, ezért elég azt igazolni, hogy az F'G' egyenes merőleges a parallelogramma egyik oldalára. Másképp fogalmazva, elegendő a feladat állítását az FM=MC, GM=MD feltétel mellett bizonyítani.

Szimmetria okok miatt elég két esetet megkülönböztetni. Az egyik eset látható az ábrán, a másik esetben G helyett annak M-re vett tükörképével kell dolgozni. Az ábrán látható esetben az FMG háromszöget megkaphatjuk a CMD háromszögből, azt M körül pozitív irányban 90o-os szöggel elforgatva. Ezért ekkor FG merőleges a CD oldalra. A másik esetben az FMG háromszöget úgy kapjuk meg, hogy az AMD háromszöget forgatjuk el M körül negatív irányban 90o-os szöggel, így ekkor FG az AD oldalra lesz merőleges.


Statistics:

114 students sent a solution.
5 points:73 students.
4 points:36 students.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley