Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4497. (December 2012)

B. 4497. The sequence (an) is defined as follows: a1=a2=1, a3=2, a_{n+3}
=\frac{a_{n+2}a_{n+1}+n!}{a_n} (n\ge1). Prove that all terms of the sequence are integers.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Számítsuk ki a sorozat első néhány elemét és keressünk szabályosságot.

Megoldás: A sorozat következő két eleme a4=3 és a5=8. Először n szerinti teljes indukcióval belátjuk, hogy anan+1=n!. Ez valóban így van n=1,2,3 esetén. Ha pedig n\ge4, akkor a rekurzió és az indukciós feltevés szerint

a_na_{n+1}=\frac{a_{n-1}a_{n-2}+(n-3)!}{a_{n-3}}\cdot
\frac{a_{n}a_{n-1}+(n-2)!}{a_{n-2}}=

=\frac{\bigl( (n-2)!+(n-3)!\bigr)\cdot
\bigl( (n-1)!+(n-2)!\bigr)}{(n-3)!}=

=\bigl( (n-2)+1\bigr)\cdot (n-2)!\cdot \bigl( (n-1)+1\bigr)=n!.

Ezután pedig azt látjuk be n szerinti teljes indukcióval, hogy an olyan egész szám, amely osztója n!-nak. Ez ismét csak így van n=1,2,3 esetén. Ha pedig n\ge4, akkor

a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}+(n-3)!}{a_{n-3}}=
\frac{(n-2)!+(n-3)!}{a_{n-3}}=\frac{(n-1)\cdot(n-3)!}{a_{n-3}},

ami az a_{n-3}\mid (n-3)! indukciós feltevés miatt valóban egész szám, (n-1)\cdot(n-3)!\mid n! miatt pedig valóban osztója n!-nak.


Statistics:

90 students sent a solution.
5 points:56 students.
4 points:8 students.
3 points:7 students.
2 points:3 students.
0 point:14 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012