KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4499. Let P be an interior point of an acute-angled triangle A1A2A3. The points Ti are such that the line segment AiTi touches the circle of diameter PAi+1 at Ti (i=1,2,3, A4=A1). Show that 2\cdot
\sum_{i=1}^3A_i T_i^2 =\sum_{i=1}^3A_iA_{i+1}^2.

Suggested by Á. Péter, Sepsiszentgyörgy (Matlap, Cluj-Napoca - Kolozsvár, Romania)

(4 points)

Deadline expired on 10 January 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Útmutatás: Vetítsük a P pontot az oldalakra.

Megoldás: Az PAi szakasz felezőpontját, vagyis a PAi átmérőjű kör középpontját jelölje Fi. Az AiTiFi+1 derékszögű háromszögből

2AiTi2=2(AiFi+12-TiFi+12)=2AiFi+12-2Ai+1Fi+12.

Mivel pedig AiFi+1 a PAiAi+1 háromszög súlyvonala,

AiAi+12+AiP2=2AiFi+12+2Ai+1Fi+12.

Ezek alapján

2AiTi2=AiAi+12+AiP2-4Ai+1Fi+12=AiAi+12+AiP2-Ai+1P2.

Ezt i=1,2,3 esetén összegezve a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk.


Statistics on problem B. 4499.
47 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Barna István, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Boguszlavszkij Gergely, Bősze Zsuzsanna, Demeter Dániel, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Győrfi 946 Mónika, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kovács Balázs Marcell, Lelkes János, Maga Balázs, Medek Ákos, Nagy Bence Kristóf, Nagy-György Pál, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Qian Lívia, Sagmeister Ádám, Sal Kristóf, Sárosdi Zsombor, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Simon 047 Péter, Stein Ármin, Sütő Máté, Szabó 524 Tímea, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tóth 095 Zsombor, Varga 911 Szabolcs, Venczel Tünde, Vető Bálint, Wiandt Péter, Zilahi Tamás.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley