A B. 4500. feladat (2012. december)

B. 4500. Létezik-e olyan legalább másodfokú, egész együtthatós f polinom, amelyre teljesül, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén az n,f(n),f(f(n)),... számok páronként relatív prímek?

(6 pont)

A beküldési határidő 2013. január 10-én LEJÁRT.

Útmutatás: Igen. Bizonyítsuk be, hogy f(0)= $\pm$ 1 és f(f(0))= $\pm$ 1.

Megoldás: Igen. Legyen f(x)=x²-x+1, és definiáljuk az f_i sorozatot az f₀(x)=x, f_i+1(x)=f(f_i(x)) rekurzióval. Azt kell belátni, hogy bármely n pozitív egész szám esetén az $f_0(n),f_1(n),f_2(n)\ldots$ számok páronként relatív prímek. Ez ekvivalens azzal, hogy tetszőleges n pozitív egész szám, p prímszám és 0 $\le$ i<j egész számok esetén $p\mid f_i(n)$ maga után vonja azt, hogy $p\nmid f_j(n)$ . Minthogy pedig f_j(n)=f_j-i(f_i(n)), elegendő a következő állítást igazolni: Ha a p prímszám osztja a k egész számot, akkor bármely i $\ge$ 1 esetén $f_i(k)\equiv 1\pmod{p}$ .

Ez az állítás i szerinti indukcióval könnyen igazolható. Az i=1 eset nyilvánvaló, hiszen $p\mid k^2-k$ . Ha pedig valamely i-re már igazolást nyert, akkor (i+1)-re is igaz lesz:

$f_{i+1}(k)=f_i(k)^2-f_i(k)+1\equiv 1^2-1+1=1\pmod{p}.$

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.

6 pontot kapott: Balogh Tamás, Baran Zsuzsanna, Barna István, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kocsis Laura, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Simon 047 Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.

5 pontot kapott: Ágoston Péter, Juhász Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Gergely, Zarándy Álmos.

4 pontot kapott: 1 versenyző.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

A KöMaL 2012. decemberi matematika feladatai

48 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Balogh Tamás, Baran Zsuzsanna, Barna István, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kocsis Laura, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Tamás, Simon 047 Péter, Szabó 262 Lóránt, Szabó 789 Barnabás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Juhász Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Gergely, Zarándy Álmos.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?