KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4504. In a right-angled triangle, the segment of the perpendicular bisector of the hypotenuse between the lines of the legs is equal in length to the hypotenuse. Determine the angles of the triangle.

(4 points)

Deadline expired on 11 February 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldási ötlet: Keressünk egyenlő szárú háromszögeket.

 

Megoldás. Legyen a háromszög átfogója AB, derékszögű csúcsa C, az átfogó felezőpontja F, a befogók egyenesei és az átfogó felező merőlegesének metszéspontja P, illetve Q, az ábra szerint. Legyen \alpha=BAC\sphericalangle.

Mivel P az AB felező merőlegesén van, PBA\sphericalangle=\alpha. Az ABC és a QBF derékszögű háromszögek hasonlók, mert B-nél levő szögük közös, ezért FQB\sphericalangle=\alpha. Az ABC és a QPC háromszögek is hasonlók, mert két szögük megegyezik.

Az ABC és a QPC derékszögű háromszögek átfogója egyenlő, ezért a két háromszög egybevágó; többek közt BC=PC. A BPC háromszög tehát egyenlő szárú derékszögű háromszög, és PBC\sphericalangle=CPB\sphericalangle=45^\circ. (Hasonlóan láthatjuk, hogy AC=QC, és az ACQ háromszög is egyenlő szárú derékszögű háromszög.) Ezután az ABC háromszög szögeiből leolvashatjuk, hogy \alpha=22,5o.

A lépéseink megfordíthatóak: ha \alpha=22,5o, akkor PBC\sphericalangle=45^\circ, az ABC és a QPC háromszögek egybevágók, végül AB=PQ.

Az ABC háromszög szögei tehát 90o, 22,5o és 67,5o.


Statistics on problem B. 4504.
205 students sent a solution.
4 points:129 students.
3 points:53 students.
2 points:4 students.
1 point:5 students.
0 point:14 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley