KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4506. Prove that there exists a set of infinitely many positive integers such that no finite subset of them add up to a perfect square.

Suggested by P. Kutas, Budapest

(4 points)

Deadline expired on 11 February 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldási ötlet: 1. megoldás: Válasszunk ki 2-hatványokat.

2. megoldás: Ha már valahány számot kiválasztottunk, a következő legyen ,,sokkal'' nagyobb, mint az addigiak.

 

1. megoldás. Legyen minden nemnegatív egész n-re xn=22n+1. Megmutatjuk, hogy ezek közül semelyik véges soknak az összege nem négyzetszám.

Tegyük fel, hogy kiválasztottunk néhány (k\ge1) számot, ezek x_{n_1}<x_{n_2}<\ldots<x_{n_k}. A számok összege


x_{n_1}+x_{n_2}+\ldots+x_{n_k}= 2^{2n_1+1}+2^{2n_2+1}+\ldots+2^{2n_k+1}=
2^{2n_1+1}\big(1+2^{2(n_2-n_1)}+\ldots+2^{2(n_k-n_1)}\big).

Az utolsó szorzatban a 22n1+1 tényező a 2-nek páratlan kitevőjű hatványa, a másik tényező pedig páratlan, ezért a szorzatuk nem lehet négyzetszám.

2. megoldás. A keresett y_1<y_2<\ldots< számokat rekurzívan adjuk meg. Legyen y1=2. Ha az y_1<\ldots<y_n számokat már definiáltuk, akkor legyen y_{n+1} =
(y_1+\ldots+y_n)^2+1.

Tegyük fel, hogy kiválasztottunk néhány (k\ge1) számot, ezek y_{n_1}<y_{n_2}<\ldots<y_{n_k}. Legyen S=y_{n_1}+y_{n_2}+\ldots+y_{n_k}; azt kell ellenőriznünk, hogy S nem négyzetszám.

Ha nk=1, az csak úgy lehet, ha k=1 és S=y1=2, ami nem négyzetszám.

Ha nk\ge2, akkor a sorozat definíciója alapján


S=y_{n_1}+y_{n_2}+\ldots+y_{n_k} \ge y_{n_k} > (y_1+\ldots+y_{n_k-1})^2

és


S \le y_1+\ldots+y_{n_k} =
(y_1+\ldots+y_{n_k-1}) + (y_1+\ldots+y_{n_k-1})^2+1 <
(y_1+\ldots+y_{n_k-1}+1)^2.

Az S két szomszédos négyzetszám közé esik, ő maga nem lehet négyzetszám.


Statistics on problem B. 4506.
111 students sent a solution.
4 points:92 students.
3 points:11 students.
2 points:6 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley