KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4508. Show that if a, b and c are positive numbers then a^{\frac 34}+b^{\frac
34}+c^{\frac 34} >{(a+b+c)}^{\frac 34}.

Inspired by Jim Boyd, USA

(4 points)

Deadline expired on 11 February 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldási ötlet: Az x\mapsto x^{\frac 34} függvény konkáv.

 

1. megoldás. Az f(x)=x^{\frac 34} függvény szigorúan konkáv. Ezért u,v>0 esetén


\frac{f(u)}{u} =
\frac{f(u)-f(0)}{u-0} > 
\frac{f(u+v)-f(0)}{(u+v)-0} > 
\frac{f(u+v)-f(v)}{(u+v)-v} =
\frac{f(u+v)-f(v)}{u}.

Az u-val szorozva, és átrendezve:

f(u)+f(v)>f(u+v).(1)

Az (1)-et az u=a, v=b, illetve az u=a+b, v=c esetekre alkalmazva:

f(a)+f(b)+f(c)>f(a+b)+f(c)>f(a+b+c)


  a^{\frac34}+b^{\frac 34}+c^{\frac 34} > {(a+b+c)}^{\frac 34} .

 

2. megoldás. Azt fogjuk felhasználni, hogy ha 0<t<1, akkor t3/4>t.

Legyen x=\frac{a}{a+b+c}, y=\frac{b}{a+b+c} és z=\frac{c}{a+b+c}. Ekkor 0<x,y,z<1 és x+y+z=1, így


\frac{a^{\frac 34}+b^{\frac 34}+c^{\frac 34}}{(a+b+c)^{\frac 34}} =
x^{\frac 34}+y^{\frac 34}+z^{\frac 34} >
x+y+z=1.


Statistics on problem B. 4508.
89 students sent a solution.
4 points:58 students.
3 points:3 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:25 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley