Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4509. (January 2013)

B. 4509. The axes of two parabolas are perpendicular to each other. Show that the intersections of the two curves lie on a circle.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Írjuk föl a parabolák egyenletét.

 

Megoldás. Helyezzük el a két parabolát a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy az egyik tengelye az x-tengely, a másik tengelye az y-tengely legyen. A parabolák egyenleteit ezek után a következő alakban írhatjuk:

y2=ax+b, illetve x2=cy+d,

ahol a,b,c,d alkalmas valós számok.

A két parabola közös pontjaira mindkét egyenlet, így a két egyenlet összege is teljesül:

x2+y2=ax+cy+(b+d).(1)

Ez vagy egy kör egyenlete, vagy egyetlen ponttá fajuló kör, vagy pedig képzetes kör (üres halmaz) egyenlete. Ha tehát egynél több közös pont van, akkor ezeket tartalmazza az (1) egyenletű kör.


Statistics:

55 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Barna István, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czövek Márton, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fónai Martin, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Herczeg József, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Leitereg András, Lelkes János, Machó Bónis, Maga Balázs, Makk László, Medek Ákos, Nagy Bence Kristóf, Osváth Tibor Attila, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Tóth 095 Zsombor, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 points:12 students.
3 points:2 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013