KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4511. (January 2013)

B. 4511. The circle k touches the circle \ell internally at point P. A line p passing through P intersects the circles again at the points K and L, respectively. u is the tangent drawn at a point U of circle k. One intersection of u with the circle \ell is V, and the intersection of lines KU and LV is T. Determine the locus of the point T as U traverses the circle k. (Consider both intersections of u and \ell; if U=K, the line KU is the tangent to k at K. Analogously, if V=L then LV is the tangent drawn to \ell at L.)

Suggested by A. Hraskó, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on 11 February 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Vizsgáljuk azt a P körüli forgatva nyújtást, ami U-t K-ba viszi.

 

1. megoldás.

Irányított szögekkel (azaz modulo 180o) fogunk számolni.

Rajzoljuk meg az u egyenes és \ell mindkét metszéspontját (V1 és V2), és a T pont mindkét lehetséges helyét (T1 és T2).

Először megmutatjuk, hogy LT_1=LT_2=\sqrt{LP\cdot LK}.

Legyen U' a PU egyenes és \ell második, P-től különböző metszéspontja, továbbá u' az \ell kör U'-beli érintője. Mivel \ell a P pontban belülről érinti k-t, a P pont a két kör külső hasonlósági pontja. Legyen n az a P középpontú nagyítás, ami k-t \ell-be viszi. Ekkor tehát n(K)=L, és n(U)=U'. Mivel n(KU)=LU', a KU és LU' egyenesek párhuzamosak. Továbbá, n(u)=u', amiből következik, hogy u és u' is párhuzamosak, tehát U' az \ell kör P-t nem tartalmazó V1V2 ívének felezőpontja.

Mivel az U'V1V2 háromszög egyenlő szárú, az LV1U'V2 húrnégyszögben U'LV_1\sphericalangle = U'V_2V_1\sphericalangle = V_2V_1U'\sphericalangle =
V_2LU'\sphericalangle. A KU és LU' egyenesek párhuzamosságából pedig láthatjuk, hogy V_2T_2U\sphericalangle = V_2LU'\sphericalangle és T_2T_1L\sphericalangle = U'LT_1\sphericalangle.

Mivel T_2T_1L\sphericalangle = V_2T_2U\sphericalangle =
LT_2T_1\sphericalangle, az LT1T2 háromszög egyenlő szárú, LT1=LT2.

Legyen most f az a P körüli forgatva nyújtás, ami U-t K-ba viszi. Mivel \frac{PL}{PK}=\frac{PU'}{PU}, az is igaz, hogy f(U')=L. Az U'UV1 és LKT1 háromszögek hasonlók és azonos körüljárásúak, mert UV_1U'\sphericalangle = V_2V_1U'\sphericalangle =
T_2T_1L'\sphericalangle = T_2K_1L'\sphericalangle, és az \ell körben V_1U'U\sphericalangle = V_1U'P\sphericalangle =
V_1LP\sphericalangle = T_1LK\sphericalangle. Mivel f(U')=L és f(U)=K, az f hasonlóság a két háromszöget egymásba viszi át, tehát az is igaz, hogy f(V1)=T1. Hasonlóan kapjuk az UU'V2 és KLT2 háromszögek hasonlóságából, hogy f(V2)=T2.

Az f forgatva nyújtás a PV1U'V2 húrnégyszöget a PT1LT2 négyszögbe viszi, ezért PT1LT2 is húrnégyszög. Az LKT1 és LT1P háromszögek hasonlók, ezért LT12=LK.LP.

Legyen t az L középpontú, \sqrt{LP\cdot LK} sugarú kör. Mint láttuk, T1 és T2 mindig a t körön van. Azt is láttuk, hogy a PT1LT2 négyszög hasonló a PV1U'V2 nem elfajuló húrnégyszöghöz, ezért T1 és T2 nem lehet rajta a p egyenesen. Jelölje X1 és X2 a p egyenes és t két metszéspontját. Ekkor tehát a T1 és T2 pontok különböznek az X1 és X2 pontoktól.

Most vázoljuk annak bizonyítását, hogy a T pont a t kör bármelyik, X1-től és X2-től különböző pontja lehet; ehhez lényegében ugyanazokat a lépéseket kell megtennünk fordított sorrendben. Vegyük fel tetszőlegesen a T1\neX1,X2 pontot a t körön. Ebből rekonstruáljuk a T2, V1 V2, U' és U pontokat.

Legyen T2 a PLT1 kör és a KT1 egyenes második, T1-től különböző metszéspontja. Mivel LT12=LP.LK, az LKT1 és LT1P háromszögek hasonlók és ellentétes körüljárásúak. Ezért LPT_1\sphericalangle = KT_1L\sphericalangle, és a PT1LT2 körben LT_2T_1\sphericalangle = LPT_1\sphericalangle = KT_1L\sphericalangle
= T_2T_1L\sphericalangle = T_2PL\sphericalangle. Az LT2T1 háromszög egyenlő szárú, LT1=LT2, tehát T2 is a t körön van.

Legyen u'' a PT1LT2 körhöz L-ben húzott érintő, ami párhuzamos T1T2-vel. Messe az \ell kör az u'', LT1 és LT2 egyeneseket másodszor rendre az U', a V1, illetve a V2 pontban, és legyen u=V1V2. Ekkor U'LV_1\sphericalangle=T_2T_1L\sphericalangle és V_2LU'\sphericalangle=LT_2T_1\sphericalangle.

Az LU' egyenes felezi a V2LV1 szöget, amiből az \ell körben láthatjuk, hogy V_2V_1U'\sphericalangle = U'V_2V_1\sphericalangle =
V_2LU'\sphericalangle. Mivel az is igaz, hogy V_1U'P\sphericalangle
= V_1LP\sphericalangle, a PT1LT2 és PV1U'V2 húrnégyszögek hasonlók és azonos körüljárásúak. Legyen most g az a P körüli forgatva nyújtás, amire g(T1)=V1, g(T2)=V2 és g(L)=U'. Az érintő képe érintő, tehát g(u'')=u'.

Végül legyen U=PU'\capV1V2=g(PL)\capP(T1T2)=g(PL\capT1T2)=g(K)=n-1(g(n(K))=n-1(g(L))=n-1(U')). Mivel u=V1V2 és u' párhuzamos, u=n-1(u'). Tehát az u egyenes U-ban érinti a k kört.

A lehetséges T pontok halmaza tehát az L középpontú, \sqrt{LP\cdot LK} sugarú körvonalnak (az L középpontú, a k-t merőlegesen metsző körnek) a p egyenesen kívüli pontjai.

 

2. megoldás (vázlat). Egy másik bizonyítást adunk arra, hogy T az L középpontú, \sqrt{LK\cdot LP} sugarú t körön van.

Legyen k kör második metszéspontja az LU, illetve a PV egyenessel U*, illetve V*. A Pascal-tételt a k körbe írt U*UUKV*P elfajuló hatszögre alkalmazva látjuk, hogy a KU, LV és U*V* egyenesek egy ponton mennek át, vagyis U*V* is átmegy T-n.

Az a P középonttú nagyítás, ami k-t \ell-be viszi, a KV* húrt LV-be viszi, tehát KV* párhuzamos az LV egyenessel. Ezért (ismét irányított szögekkel számolva) LTU^*\sphericalangle =
VTV^*\sphericalangle = KV^*T\sphericalangle = KV^*U^*\sphericalangle; a k körben pedig KV^*U^*\sphericalangle = KUU^*\sphericalangle =
TUL\sphericalangle.

Megmutatjuk, hogy az LTU és LU*T háromszögek hasonlók. Az U* pont az LU félegyenesen van, mert L az \ell körön, az U és U* pedig az \ell belsejében van. Ezért a két háromszög ellentétes irányítású, ULT\sphericalangle = U^*LT\sphericalangle =
-TLU^*\sphericalangle, és, mint láttuk, TUL\sphericalangle =
LTU^*\sphericalangle = -U^*TL\sphericalangle.

A két háromszög hasonlóságából \frac{LT}{LU}=\frac{LU^*}{LT}, vagyis LT2=LU.LU*; az L pontnak a k körre vonatkozó hatványa pedig LU.LU*=LK.LP, tehát

LT2=LU.LU*=LK.LP.

Az Olvasóra bízzuk annak végiggondolását, hogy a T pont nem eshet a p egyenesre, ugyanakkor a t körnek tetszőleges, a p egyenesre nem illeszkedő T pontjából kiindulva, rekonstruálhatjuk az U, V, U* és V* pontokat.


Statistics:

10 students sent a solution.
6 points:Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Maga Balázs, Szabó 928 Attila.
5 points:Paulovics Zoltán.
4 points:2 students.
2 points:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley