Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4512. (February 2013)

B. 4512. A digit is written on each face of two cubes such that the number of any day of a month is obtained by placing the two cubes next to each other in an appropriate way. (One-digit numbers are written as usual, e.g. 01. A 9 may also be obtained by turning a 6 around.) In how many different ways can this be done if the relative positions of numbers on the same cube are not considered?

Suggested by A. Balga, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on March 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Mely számjegyekből szükséges 2 db?

 

Megoldás. Elöször is megjegyezzük, hogy a 9-es és 6-os számjegyek egymás elforgatottjai, ezért valójában csak kilencféle számjegyet szükséges használnunk.

A 11 és 22 előállításához a 1-est és a 2-est is mindkét kockán el kell helyeznünk. A 01, 02, ..., 09 számokban összesen nyolcféle jegy szerepel a 0 mellett. Ez a nyolc jegy nem fér el egy kockán, ezért mindkét kockán szerepelnie kell a 0-nak is.

Mint láttuk, mindkét kockán szerepelnie kell a 0, 1 és 2 jegyeknek; a további hat kockalapon pedig szerepelni kell a 3, 4, 5, 6, 7, 8 jegyeknek. Megmutatjuk, hogy a hat helyre a hat számjegyet tetszőlegesen eloszthatjuk. A 01 és 31 közötti számok mindegyikében szerepel a 0, 1, 2 jegyek valamelyike. Ha előbb a nagyobbik számjegyet (a megfelelő kockán) tesszük a helyére, a kisebbik jegyet a másik kockán biztosan megjeleníthetjük.

A kérdés tehát az, hogy a 3, 4, 5, 6, 7, 8 jegyeket hányféleképpen bonthatjuk két, háromelemű részre. Avagy, például a 3-as mellé hányféleképpen választhatjuk ki a másik két jegyet a többi 5 jegy közül. Erre pedig a válasz \binom52=10.


Statistics:

148 students sent a solution.
3 points:72 students.
2 points:58 students.
1 point:11 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2013