KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4513. The radius of the circumscribed circle of an isosceles triangle of unit base is also unity. The diameter parallel to the base of the triangle cuts off a smaller triangle. Find the exact lengths of the base and legs of the smaller triangle.

Suggested by A. Balga, Budapest

(3 points)

Deadline expired on 11 March 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldási ötlet: Számítsuk ki a szögeket.

 

Megoldásvázlat. Legyen a háromszög ABC, az alapja c, a körülírt kör középontja O. Ha az AB egyenes elválasztja egymástól az O és C pontokat, akkor a körülírt kör AB-vel párhuzamos átmérője nem metszi az ABC háromszög oldalait, így ez az eset nem lehetséges (baloldali ábra). Az O és a C pontnak az AB egyenes ugyanazon az oldalán kell lennie, a jobboldali ábra szerint. Legyen a levágott háromszög DEC. Az AB oldal felezőpontját jelöljük F-fel. A szimmetria miatt az O pont felezi a DE szakaszt.

A feltétel szerint AB=OA=OB=OC=1. Az ABO háromszög szabályos, mert mindegyik oldala egységnyi; a szögei tehát 60 fokosak. Az ACO egyenlő szárú háromszögben AOC\sphericalangle=180^\circ-FOA\sphericalangle=150^\circ, így CAO\sphericalangle=15^\circ. Mivel AB||DE, azért CDE\sphericalangle=CAB\sphericalangle=75^\circ, és ugyanígy DEC\angle=75o.

Ismeretes, hogy a 75o szögfüggvényei a következők (ezeket például az addíciós képletekből, a 45o és 30o szögfüggvényeiből számíthatjuk ki):


\sin 75^\circ=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}, \qquad
\cos 75^\circ=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}, \qquad
\tg 75^\circ=2+\sqrt3, \qquad
\ctg 75^\circ=2-\sqrt3.

A CDO és CEO derékszögű háromszögekben CO=1, ezért


DE = 2\cdot DO = 2\cdot \big(CO\cdot\ctg 75^\circ\big) = 2\cdot \ctg
75^\circ = 2\cdot\big(2-\sqrt3\big) = 4-2\sqrt3,

és


CD = CE = \frac{CO}{\sin 75^\circ} = \frac1{\sin 75^\circ} =
\frac{2\sqrt2}{\sqrt3+1} =
\frac{2\sqrt2\big(\sqrt3-1\big)}{\big(\sqrt3+1\big)\big(\sqrt3-1\big)}
= \sqrt6-\sqrt2.

Megjegyzés. A CD és a DE oldalak hosszát szögfüggvények nélkül is kiszámíthatjuk az AFO és AFC hároszögekre feírt a Pithagorasz-tételből, valamint az ABC és DEC háromszögek hasonlóságából.


Statistics on problem B. 4513.
189 students sent a solution.
3 points:125 students.
2 points:56 students.
1 point:7 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley