A B. 4513. feladat (2013. február)

B. 4513. Egy egységnyi alapú, egyenlő szárú háromszög köré írt kör sugara szintén egységnyi. Az alappal párhuzamos átmérővel levágunk a háromszögből egy kisebb háromszöget. Adjuk meg a kis háromszög szárának és alapjának hosszát pontosan.

Javasolta: Balga Attila (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2013. március 11-én LEJÁRT.

Megoldási ötlet: Számítsuk ki a szögeket.

Megoldásvázlat. Legyen a háromszög ABC, az alapja c, a körülírt kör középontja O. Ha az AB egyenes elválasztja egymástól az O és C pontokat, akkor a körülírt kör AB-vel párhuzamos átmérője nem metszi az ABC háromszög oldalait, így ez az eset nem lehetséges (baloldali ábra). Az O és a C pontnak az AB egyenes ugyanazon az oldalán kell lennie, a jobboldali ábra szerint. Legyen a levágott háromszög DEC. Az AB oldal felezőpontját jelöljük F-fel. A szimmetria miatt az O pont felezi a DE szakaszt.

A feltétel szerint AB=OA=OB=OC=1. Az ABO háromszög szabályos, mert mindegyik oldala egységnyi; a szögei tehát 60 fokosak. Az ACO egyenlő szárú háromszögben $AOC\sphericalangle=180^\circ-FOA\sphericalangle=150^\circ$ , így $CAO\sphericalangle=15^\circ$ . Mivel AB||DE, azért $CDE\sphericalangle=CAB\sphericalangle=75^\circ$ , és ugyanígy DEC $\angle$ =75^o.

Ismeretes, hogy a 75^o szögfüggvényei a következők (ezeket például az addíciós képletekből, a 45^o és 30^o szögfüggvényeiből számíthatjuk ki):

$\sin 75^\circ=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}, \qquad \cos 75^\circ=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}, \qquad \tg 75^\circ=2+\sqrt3, \qquad \ctg 75^\circ=2-\sqrt3.$

A CDO és CEO derékszögű háromszögekben CO=1, ezért

$DE = 2\cdot DO = 2\cdot \big(CO\cdot\ctg 75^\circ\big) = 2\cdot \ctg 75^\circ = 2\cdot\big(2-\sqrt3\big) = 4-2\sqrt3,$

és

$CD = CE = \frac{CO}{\sin 75^\circ} = \frac1{\sin 75^\circ} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt3+1} = \frac{2\sqrt2\big(\sqrt3-1\big)}{\big(\sqrt3+1\big)\big(\sqrt3-1\big)} = \sqrt6-\sqrt2.$

Megjegyzés. A CD és a DE oldalak hosszát szögfüggvények nélkül is kiszámíthatjuk az AFO és AFC hároszögekre feírt a Pithagorasz-tételből, valamint az ABC és DEC háromszögek hasonlóságából.

Statisztika:

189 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 125 versenyző.

2 pontot kapott: 56 versenyző.

1 pontot kapott: 7 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2013. februári matematika feladatai

189 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	125 versenyző.
2 pontot kapott:	56 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?