KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4514. (February 2013)

B. 4514. Solve the equation 36a4+b4=9c4+4d4 on the set of integers.

Suggested by Gy. Orosz, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on 11 March 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Vizsgáljuk az 5-ös maradékot.

 

Megoldás. Az (1)-nek triviális megoldása a (0,0,0,0). Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs.

Tegyük fel, hogy létezik olyan (a,b,c,d) megoldás, amelyben a,b,c,d valamelyike 0-tól különböző (nevezzük az ilyeneket "nemtriviális" megoldásoknak), és vegyünk a nemtriviális megoldások közül egy olyat, amelyben |a|+|b|+|c|+|d| minimális.

Vizsgáljuk (1)-ben a két oldal maradékát 5-tel osztva. Tetszőleges x egészre, ha x\equiv\pm1\pmod5, akkor x^4\equiv(\pm1)^4=1\pmod5, ha pedig x\equiv\pm2\pmod5, akkor x^4\equiv(\pm2)^4=16\equiv1\pmod5. Ha pedig x\equiv0\pmod5, akkor természetesen x^4\equiv0\pmod5.

Ezért (1) baloldalán a 36a4+b4=5.7a4+(a4+b4) szám 5-ös maradéka 0, 1 vagy 2, és a 0 csak akkor lehetséges, ha a és b is osztható 5-tel. Hasonlóan, (1) jobboldalán a 9c4+4d4=5(2c4+d4)-(c4+d4) 5-ös maradéka 0, -1 vagy -2, és a 0 csak akkor lehetséges, ha c és d is osztható 5-tel. A {0,1,2} és {0,-1,-2} halmazoknak egyetlen közös eleme a 0, tehát (1) csak úgy teljesülhet, ha mindkét oldal, sőt, abcd mindegyike osztató 5-tel.

Legyen a1=a/5, b1=b/5, c1=c/5 és d1=d/5. Ezek mindegyike egész szám, az egyenlet teljesül rájuk, nem mindegyikük 0, tehát (a1,b1,c1,d1) is nemtriviális megoldása az egyenletnek. Viszont |a_1|+|b_1|+|c_1|+|d_1| = \frac15\big(|a|+|b|+|c|+|d|\big) <
|a|+|b|+|c|+|d|, ez pedig ellentmond annak, hogy a lehető legkisebb nemtriviális megoldást választottuk.

Megjegyzés. Az egyenletben szereplő 4-es kitevőkből sejthetjük meg, hogy az 5-ös maradékokat érdemes vizsgálni: a kis Fermat-tétel szerint x^4\equiv 1\pmod5, ha x nem osztható 5-tel.


Statistics:

86 students sent a solution.
4 points:Ágoston Péter, Almási Péter, Andó Angelika, Badacsonyi István András, Bajnok Anna, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Csernák Tamás, Csurgai-Horváth Bálint, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Fekete Panna, Fellner Máté, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Makk László, Mándoki Sára, Mattia Tiso, Mezősi Máté, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Qian Lívia, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Somogyvári Kristóf, Stein Ármin, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Török Tímea, Török Zsombor Áron, Venczel Tünde, Weisz Ambrus, Wiandt Péter, Williams Kada, Zilahi Tamás, Zsakó Ágnes.
3 points:14 students.
2 points:12 students.
1 point:1 student.
0 point:13 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley