KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4515. (February 2013)

B. 4515. If a token is inserted in a slot machine, it will roll a regular die and show the result. Then the player may choose to either accept the prize, which is 100 times the number rolled, and thereby end the game, or to insert a second token. In the latter case, the machine rolls the die again, and then the prize is 100 times the product of the two numbers rolled. The game then ends, there is no more choice offered. How much should a token cost so that, in the long run, the slot machine make a profit for its owner?

(4 pont)

Deadline expired on March 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük Z-vel egy zseton árát. Megmutatjuk, hogy

(a) Z\le660 esetén van olyan stratégia, amire a játékos várható nyereménye (levonva a felhasznált zsetonok árát) nemnegatív;

(b) Z>660 esetén az üzemeltető várható haszna a játékos tetszőleges stratégiája esetén pozitív.

Az első dobás értékét jelöljük x-szel. A játékos stratégiája minden esetben a következő alakú: az első dobás értékétől függően px valószínűséggel újra dob, illetve 1-px valószínűséggel megáll, és felveszi a nyereményt.

Ha megáll, akkor az egyenlege 100x-Z. Ha újra dob, akkor a második dobás feltételes várható értéke \frac72, a feltételes várható nyeremény tehát x\cdot\frac72\cdot100=350x, de 2Z értékű zsetont használ fel. Ha tehát az első dobás, x ismert, akkor a játékos várható egyenlege (a nyeremény, kivonva a zsetonok árát):

E(egyenleg | x)=(1-px)(100x-Z)+px(350x-2Z)=100x-Z+px(250x-Z).

Mivel az x=1,2,3,4,5,6 esetek mindegyikének \frac16 a valószínűsége, a játékos várható egyenlege a teljes játékban tehát


E({\rm egyenleg}) = 
\frac16\sum_{x=1}^6\Big(100x-Z + p_x(250x-Z)\Big) =
350-Z + \frac16\sum_{x=1}^6 p_x(250x-Z).  (*)

(a) Tegyük fel, hogy a játékos stratégiája a következő: ha az első dobás 1 vagy 2, akkor mindig megáll, x\ge3 esetén pedig mindig újra dob, vagyis p1=p2=0 és p3=p4=p5=p6=1. Ebben az esetben (*) így alakul:


E({\rm egyenleg}) = 
350-Z + \frac16\sum_{x=3}^6 (250x-Z)
= 1100 - \frac53Z = \frac53(660-Z).

Ezzel a stratégiával tehát a játékos várható egyenlege Z\le660 esetén nemnegatív.

(b) Most pedig megmutatjuk, hogy Z>660 esetén a játékos várható egyenlege az p1,...,p6 valószínűségek tetszőleges megválasztása esetén negatív. A (*) képletben Z mindig negatív előjellel szerepel, ezért a kifejezés értékét növeljük, ha Z helyére mindenhol 660-at írunk:


E({\rm egyenleg}) <
350-660 + \frac16\sum_{x=1}^6 p_x(250x-660) =


= -310 +\frac{-410p_1 -160p_2 +90p_3 + 340p_4 +590p_5 + 840p_6}{6}.

A p1 és p2 előjele negatív, ezeket 0-val becsüljük. A p3p4p5p6 előjele pozitív, ezeket a valószínűségeket 1-gyel becsüljük.


E({\rm egyenleg}) < -310 +\frac{-410\cdot0-160\cdot0+90\cdot1+340\cdot1+59\cdot1+840\cdot1}{6} = 0.

Tehát az üzemeltetőnek Z értékét 660-nál nagyobbnak érdemes választania.

Megjegyzés: Sokan félreértették a feladatot. Ők úgy tekintették, mintha 1/2 valószínűséggel lenne 2. dobás, 1/2 valószínűséggel pedig nem - holott ezt a játékos maga dönti el. Ők 0 pontot kaptak.


Statistics:

100 students sent a solution.
4 points:Balogh Menyhért, Baran Zsuzsanna, Czipó Bence, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Hansel Soma, Havasi 0 Márton, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Kacz Dániel, Kátay Tamás, Katona Dániel, Khayouti Sára, Kutasi Kristóf, Leitereg Miklós, Lőrinczy Zsófia Noémi, Maga Balázs, Makk László, Medek Ákos, Mezősi Máté, Mócsy Miklós, Nemes György, Németh Gergely, Osváth Tibor Attila, Sal Kristóf, Somogyvári Kristóf, Szabó 262 Lóránt, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Vályi András, Venczel Tünde, Weisz Ambrus, Williams Kada, Zilahi Tamás.
3 points:Badacsonyi István András, Csernák Tamás, Juhász Kristóf, Szabó 789 Barnabás.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:53 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley