Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4516. (February 2013)

B. 4516. In a triangle ABC, tan \alpha=2, tan \gamma=1, and b=12. The midpoints of the sides opposite to A and B are Fa and Fb, and the feet of the corresponding altitudes are Ta and Tb, respectively. Prove that the centroid and the orthocentre of triangle ABC are collinear with the intersection of TaFb and FaTb.

(4 pont)

Deadline expired on March 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Alkalmazzuk a Papposz-tételt vagy használjunk koordinátákat.

 

1. megoldás. Legyen a súlypont S, a magasságpont M, a TaFb és FaTb egyenesek metszéspontja X. Az AFATA pontok az AC egyenesen, a BFbTb pontok pedig a BC egyesen vannak. A Papposz-tételt a az (A,FA,TA) és (B,Fb,Tb) ponthármasokra alkalmazva kapjuk, hogy AFb\capBFa=S, ATb\capBTa=M és FaTb\capFbTa=X egy egyenesre esik.

2. megoldás (vázlat). Helyezzük el az ábrát a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy Tb legyen az origó, és \overrightarrow{BA} legyen az x-tengely pozitív iránya.

Könnyű ellenőrizni, hogy Tb=(0,0), A=(8,0), C=(-4,0), B=(0,8), Fb=(2,0), Fa=(-2,4), S=\bigg(\frac43,\frac83\bigg). A magasságpont ordinátáját a A-ból induló magasság egyenletéből, vagy a TbM.TbB=TbA.TbC azonosságből is kiszámíthatjuk: M=(0;4).

A BC és AM egyenesek egyenlete 2x-y=-8, illetve x+2y=8, metszéspontjuk T_b=\bigg(-\frac85;\frac{24}5\bigg).

Az TaFb és FaTb egyenesek egyenlete 4x+3y=8, illetve 2x+y=0; a metszéspontjuk X=(-4;8).

Az \overrightarrow{SM} = \bigg(-\frac43; \frac43\bigg) és \overrightarrow{MX} = (-4;4) vektorok párhuzamosak, mert \overrightarrow{MX} = 3\cdot\overrightarrow{SM}. Tehát S, M és X egy egyenesen van.


Statistics:

103 students sent a solution.
4 points:90 students.
3 points:8 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2013