KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4516. (February 2013)

B. 4516. In a triangle ABC, tan \alpha=2, tan \gamma=1, and b=12. The midpoints of the sides opposite to A and B are Fa and Fb, and the feet of the corresponding altitudes are Ta and Tb, respectively. Prove that the centroid and the orthocentre of triangle ABC are collinear with the intersection of TaFb and FaTb.

(4 pont)

Deadline expired on 11 March 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Alkalmazzuk a Papposz-tételt vagy használjunk koordinátákat.

 

1. megoldás. Legyen a súlypont S, a magasságpont M, a TaFb és FaTb egyenesek metszéspontja X. Az AFATA pontok az AC egyenesen, a BFbTb pontok pedig a BC egyesen vannak. A Papposz-tételt a az (A,FA,TA) és (B,Fb,Tb) ponthármasokra alkalmazva kapjuk, hogy AFb\capBFa=S, ATb\capBTa=M és FaTb\capFbTa=X egy egyenesre esik.

2. megoldás (vázlat). Helyezzük el az ábrát a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy Tb legyen az origó, és \overrightarrow{BA} legyen az x-tengely pozitív iránya.

Könnyű ellenőrizni, hogy Tb=(0,0), A=(8,0), C=(-4,0), B=(0,8), Fb=(2,0), Fa=(-2,4), S=\bigg(\frac43,\frac83\bigg). A magasságpont ordinátáját a A-ból induló magasság egyenletéből, vagy a TbM.TbB=TbA.TbC azonosságből is kiszámíthatjuk: M=(0;4).

A BC és AM egyenesek egyenlete 2x-y=-8, illetve x+2y=8, metszéspontjuk T_b=\bigg(-\frac85;\frac{24}5\bigg).

Az TaFb és FaTb egyenesek egyenlete 4x+3y=8, illetve 2x+y=0; a metszéspontjuk X=(-4;8).

Az \overrightarrow{SM} = \bigg(-\frac43; \frac43\bigg) és \overrightarrow{MX} = (-4;4) vektorok párhuzamosak, mert \overrightarrow{MX} = 3\cdot\overrightarrow{SM}. Tehát S, M és X egy egyenesen van.


Statistics:

103 students sent a solution.
4 points:90 students.
3 points:8 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley