Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4519. (February 2013)

B. 4519. The altitudes of a tetrahedron ABCD all pass through the point M. Let R denote the radius of the circumscribed sphere. Show that MA2+MB2+MC2+MD2=4R2.

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Használjunk vektorokat.

 

Megoldás. Közismert, hogy a tetraéder magasságai akkor mennek át egy ponton, ha a szemközti élek merőlegesek egymásra. Ennek egy lehetséges bizonyítása a következő. Az AM magasság merőleges a BCD síkra, így a sík minden egyenesére, közte a CD egyenesre is. Hasonlóan, a BM magasság is merőleges a CD egyenesre. Most már tudjuk, hogy a CD egyenes merőleges az ABM sík két különböző irányú egyenesére: AM-re és BM-re, tehát CD merőleges az ABM síkra. Ebből pedig következik, hogy CD az ABM sík minden egyenesére merőleges, így AB-re is. Az AB és CD élek tehát merőlegesek egymásra. Hasonlóan kaphatjuk, hogy AC merőleges BD-re, és AD merőleges BC-re.

Legyen a tetraéder köré írt gömb középpontja O, és a szokásos jelölésekkel \overrightarrow{OA}=\mathbf{a}, \overrightarrow{OB}=\mathbf{b}, \overrightarrow{OC}=\mathbf{c}, \overrightarrow{OD}=\mathbf{d} és \overrightarrow{OM}=\mathbf{m}. Ekkor

 \mathbf{a}^2=\mathbf{b}^2=\mathbf{c}^2=\mathbf{d}^2=R^2,

és a szemközti élek merőlegessége miatt


(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{d})=
(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{d})=
(\mathbf{a}-\mathbf{d})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})=0.

Megmutatjuk, hogy


\mathbf{m} =
\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}2. (1)

(Ez szintén jól ismert.)

Legyen


\mathbf{n} = \frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}2;

és N az a pont, ahova az \mathbf{n} vektor mutat. Azt kell megmutatnunk, hogy M=N.

Az AN egyenes merőleges a BC egyenesre, mert


\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{BC} =
(\mathbf{n}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b}) =
\tfrac12(\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}-\mathbf{a})
\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b}) =


= \tfrac12\Big((\mathbf{b}+\mathbf{c})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b}) +
(\mathbf{d}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b})\Big) =
\tfrac12\Big((\mathbf{c}^2-\mathbf{b}^2)+0\Big) = 0.

Hasonlóan, AN merőleges a BD és a CD egyenesre is, tehát AN merőleges a BCD síkra, vagyis N az A-ból induló magasságon van. Ugyanígy láthatjuk, hogy N rajta van a tetraéder többi magasságán is. Tehát N=M.

A feladat állítását az (1) képletből bizonyíthatjuk:


  MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2} =
  (\mathbf{m}-\mathbf{a})^2+(\mathbf{m}-\mathbf{b})^2+
  (\mathbf{m}-\mathbf{c})^2+(\mathbf{m}-\mathbf{d})^2 =


  \tfrac14\Big( (-\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d})^2 +
  (\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d})^2 +
  (\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}+\mathbf{d})^2 +
  (\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}-\mathbf{d})^2 \Big) =


  = \mathbf{a}^2+\mathbf{b}^2+\mathbf{c}^2+\mathbf{d}^2 =4R^2.


Statistics:

42 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Lelkes János, Machó Bónis, Maga Balázs, Makk László, Márton Boldizsár, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Vályi András, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 points:Szász Dániel Soma.
3 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2013