KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4522. (March 2013)

B. 4522. Find all integers n such that |2n3-6n2+4n+3| is a prime.

(3 pont)

Deadline expired on 10 April 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Vizsgáljuk a 3-as maradékot.

Megoldás. Vegyük észre, hogy 2n3-6n2+4n+3=2n(n-1)(n-2)+3 mindig osztható 3-mal, mert n-2, n-1 és n három szomszédos egész szám. Ezért |2n3-6n2+4n+3| csak úgy lehet prímszám, ha értéke pontosan 3.

Ha n=0, n=1 vagy n=2, akkor 2n(n-1)(n-2)+3=3. Ezek tehát megoldások.

Ha n\ge3, akkor 2n(n-1)(n-2)+3>3, ha pedig n\le-1, akkor n(n-1)(n-2)=-|n|.|n-1|.|n-2|<-6, így 2n(n-1)(n-2)+3\le2.(-6)+3<-3. Az ilyen n értékekre tehát |2n3-6n2+4n+3|>3, ezek nem megoldások.

Összefoglalva, |2n3-6n2+4n+3| akkor prímszám, ha n=0, n=1 vagy n=2.


Statistics:

152 students sent a solution.
3 points:111 students.
2 points:32 students.
1 point:8 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley