KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4524. (March 2013)

B. 4524. f is a function defined on the set of natural numbers such that f(1)+22f(2)+32f(3)+...+n2f(n)=n3f(n) for all positive integers n. Given that f(1)=2013, find the value of f(2013).

Competition problem from Transsylvania

(4 pont)

Deadline expired on 10 April 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Írjuk fel a feltételt két szomszédos értékre.

Megoldás. A feltételt n-re és n+1-re is felírva, majd ezeket kivonva egymásból,

f(1)+22f(2)+32f(3)+...+n2f(n)=n3f(n)

f(1)+22f(2)+32f(3)+...+n2f(n)+(n+1)2f(n+1)=(n+1)3f(n+1)

(n+1)2f(n+1)=(n+1)3f(n+1)-n3f(n)

Ezt átrendezve,

n2f(n)=(n+1)2f(n+1).

Ebből n szerinti indukcióval láthatjuk, hogy n2f(n) konstans, avagy f(n)=\frac{c}{n^2} egy alkalmas c számal. Az f(1)=2013 feltételből kapjuk, hogy c=2013, vagyis


f(n) = \frac{2013}{n^2}. (1)

(*) Ez a függvény valóban teljesíti a feltételeket: f(1)=2013, és


f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+\dots + n^2f(n) =
n\cdot 2013 = n^3\cdot\frac{2013}{n^2} = n^3f(n).

Végül az (1) képletbe behelyettesítve n=2013-at,

 f(2013)=\frac1{2013}.

Megjegyzés. A (*) lépés nélkül a megoldás nem lenne teljes. Előfordulhatna ugyanis, hogy a feltételt semmilyen függvény nem teljesíti.

Ha például a feladatot úgy módosítjuk, hogy a feltételt az f(1)+22f(2)+...+n2f(n)=n3f(n)+1 összefüggésre cseréljük, akkor ez n=1-re az f(1)=f(1)+1 ellentmondást adja. Ennek ellenére a megoldás többi lépései ugyanígy elmondhatóak, és az f(2013)=\frac1{2013} következtetésre vezetnek, de ez a válasz hibás.


Statistics:

137 students sent a solution.
4 points:85 students.
3 points:28 students.
2 points:6 students.
1 point:1 student.
0 point:14 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley