KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4529. Let n be a positive integer. Prove that \textstyle
\sum_{i=1}^{n} 2i\cdot \binom{2n}{n-i} =n\cdot \binom{2n}{n}.

(6 points)

Deadline expired on 10 April 2013.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldási ötletek: 1. Milyen kombinatorikus jelentése lehet a két oldalnak? 2. Bizonyítsunk indukcióval, vagy alakítsuk a kifejezést teleszkópos összeggé.

Megoldás.


\sum_{i=1}^{n} 2i\cdot \binom{2n}{n-i} =
\sum_{i=1}^{n-1} \Bigg[
(n+i)\cdot\binom{2n}{n-i}-(n-i)\cdot\binom{2n}{n-i}
\Bigg] + 2n\cdot\binom{2n}{0} =


= \sum_{i=1}^{n-1} \Bigg[
2n\cdot\binom{2n-1}{n-i}-2n\cdot\binom{2n-1}{n-i-1}\Bigg] + 2n\cdot\binom{2n-1}{0} =


= 2n\cdot\Bigg(
\bigg[\binom{2n-1}{n-1}-\binom{2n-1}{n-2}\bigg]+
\bigg[\binom{2n-1}{n-2}-\binom{2n-1}{n-3}\bigg]+
\ldots+
\bigg[\binom{2n-1}{1}-\binom{2n-1}{0}\bigg]+
\binom{2n-1}{0}\Bigg) =


= 2n\cdot\binom{2n-1}{n-i} = n\cdot \binom{2n}{n}.


Statistics on problem B. 4529.
44 students sent a solution.
6 points:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Csurgai-Horváth Bálint, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Horváth Hanga Réka, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Kovács 101 Dávid Péter, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Mattia Tiso, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
5 points:Katona Dániel, Lelkes János.
4 points:1 student.
3 points:1 student.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2013

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley