Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4529. (March 2013)

B. 4529. Let n be a positive integer. Prove that \textstyle
\sum_{i=1}^{n} 2i\cdot \binom{2n}{n-i} =n\cdot \binom{2n}{n}.

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötletek: 1. Milyen kombinatorikus jelentése lehet a két oldalnak? 2. Bizonyítsunk indukcióval, vagy alakítsuk a kifejezést teleszkópos összeggé.

Megoldás.


\sum_{i=1}^{n} 2i\cdot \binom{2n}{n-i} =
\sum_{i=1}^{n-1} \Bigg[
(n+i)\cdot\binom{2n}{n-i}-(n-i)\cdot\binom{2n}{n-i}
\Bigg] + 2n\cdot\binom{2n}{0} =


= \sum_{i=1}^{n-1} \Bigg[
2n\cdot\binom{2n-1}{n-i}-2n\cdot\binom{2n-1}{n-i-1}\Bigg] + 2n\cdot\binom{2n-1}{0} =


= 2n\cdot\Bigg(
\bigg[\binom{2n-1}{n-1}-\binom{2n-1}{n-2}\bigg]+
\bigg[\binom{2n-1}{n-2}-\binom{2n-1}{n-3}\bigg]+
\ldots+
\bigg[\binom{2n-1}{1}-\binom{2n-1}{0}\bigg]+
\binom{2n-1}{0}\Bigg) =


= 2n\cdot\binom{2n-1}{n-i} = n\cdot \binom{2n}{n}.


Statistics:

44 students sent a solution.
6 points:Ágoston Péter, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Csurgai-Horváth Bálint, Emri Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Horváth Hanga Réka, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Kovács 101 Dávid Péter, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Mattia Tiso, Mócsy Miklós, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Petrényi Márk, Sagmeister Ádám, Schwarcz Tamás, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Venczel Tünde, Williams Kada, Zilahi Tamás.
5 points:Katona Dániel, Lelkes János.
4 points:1 student.
3 points:1 student.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2013