KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4531. (March 2013)

B. 4531. Solve the equation (x2+100)2=(x3-100)3.

Quantum

(5 pont)

Deadline expired on 10 April 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Vizsgáljuk a \root3\of{x^2+100} függvényt.

Megoldás. Legyen f(x)=\root3\of{x^2+100}. Az egyenletet úgy rendezzük át, hogy közben kerüljük a négyzetre emelést és a a négyzetgyökvonást. (A köbre emelés és a köbgyökvonás ekvivalens átalakítások, mert a valós számok körében ezek \mathbb{R}\to\mathbb{R} bijekciók.)


  \root3\of{\big(x^2+100\big)^2} = x^3-100

(f(x))2=x3-100


  \root3\of{(f(x)\big)^2+100} = x

f(f(x))=x.

A kapott, az eredetivel ekvivalens f(f(x))=x egyenletnek megoldása az f függvény minden fixpontja (azaz azok az x-ek, amikre f(x)=x). Oldjuk meg először ezt az egyenletet:

f(x)=x


  \root3\of{x^2+100} = x

x3-x2-100=0

(x-5)(x2+4x+20)=0

x=5.

(Behelyettesíttéssel is ellenőrizhetjük, hogy ez valóban fixpont: f(5)=\root3\of{5^2+100}=5.)

Megmutatjuk, hogy az egyenletnek nincs több megoldása. Vizsgáljuk az |f(x)-5| függvényt. Az a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} azonosságot felhasználva,


\big|f(x)-5\big| = \Big|\root3\of{x^2+100}-5\Big| = \frac{\big|(x^2+100)-5^3\big|}{
\root3\of{x^2+100}^2+5\root3\of{x^2+100}+5^2} =


= \frac{|x+5|}{(x^2+100)^{2/3}+5(x^2+100)^{1/3}+25} \cdot |x-5|.

A nevezőben szereplő tagokat alulról becsüljük:

(x2+100)2/3+5(x2+100)1/3+25\ge(x2+100)1/2+0+25>|x|+5>|x+5|

ezért


0<\frac{|x+5|}{(x^2+100)^{2/3}+5(x^2+100)^{1/3}+25} < 1.

Ebből következik, hogy x\ne5 esetén

0<|f(x)-5|<|x-5|.

Ugyanezt x helyett f(x)-re is felírva,

0<|f(f(x))-5|<|f(x)-5|<|x-5|.

Ebből következik, hogy |f(f(x))-5|<|x-5|, és így f(f(x))\nex.


Statistics:

>
90 students sent a solution.
5 points:Badacsonyi István András, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Róbert, Osváth Tibor Attila, Sagmeister Ádám, Sándor Krisztián, Schultz Nóra, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Wiandt Péter, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 points:Csépai András, Győrfi 946 Mónika, Katona Dániel, Lelkes János, Mattia Tiso, Szabó 262 Lóránt, Szaksz Bence, Tóth 095 Zsombor.
3 points:8 students.
2 points:15 students.
1 point:20 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley