Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4531. (March 2013)

B. 4531. Solve the equation (x2+100)2=(x3-100)3.

Quantum

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Vizsgáljuk a \root3\of{x^2+100} függvényt.

Megoldás. Legyen f(x)=\root3\of{x^2+100}. Az egyenletet úgy rendezzük át, hogy közben kerüljük a négyzetre emelést és a a négyzetgyökvonást. (A köbre emelés és a köbgyökvonás ekvivalens átalakítások, mert a valós számok körében ezek \mathbb{R}\to\mathbb{R} bijekciók.)


  \root3\of{\big(x^2+100\big)^2} = x^3-100

(f(x))2=x3-100


  \root3\of{(f(x)\big)^2+100} = x

f(f(x))=x.

A kapott, az eredetivel ekvivalens f(f(x))=x egyenletnek megoldása az f függvény minden fixpontja (azaz azok az x-ek, amikre f(x)=x). Oldjuk meg először ezt az egyenletet:

f(x)=x


  \root3\of{x^2+100} = x

x3-x2-100=0

(x-5)(x2+4x+20)=0

x=5.

(Behelyettesíttéssel is ellenőrizhetjük, hogy ez valóban fixpont: f(5)=\root3\of{5^2+100}=5.)

Megmutatjuk, hogy az egyenletnek nincs több megoldása. Vizsgáljuk az |f(x)-5| függvényt. Az a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} azonosságot felhasználva,


\big|f(x)-5\big| = \Big|\root3\of{x^2+100}-5\Big| = \frac{\big|(x^2+100)-5^3\big|}{
\root3\of{x^2+100}^2+5\root3\of{x^2+100}+5^2} =


= \frac{|x+5|}{(x^2+100)^{2/3}+5(x^2+100)^{1/3}+25} \cdot |x-5|.

A nevezőben szereplő tagokat alulról becsüljük:

(x2+100)2/3+5(x2+100)1/3+25\ge(x2+100)1/2+0+25>|x|+5>|x+5|

ezért


0<\frac{|x+5|}{(x^2+100)^{2/3}+5(x^2+100)^{1/3}+25} < 1.

Ebből következik, hogy x\ne5 esetén

0<|f(x)-5|<|x-5|.

Ugyanezt x helyett f(x)-re is felírva,

0<|f(f(x))-5|<|f(x)-5|<|x-5|.

Ebből következik, hogy |f(f(x))-5|<|x-5|, és így f(f(x))\nex.


Statistics:

90 students sent a solution.
5 points:Badacsonyi István András, Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Havasi 0 Márton, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Nagy Gergely, Nagy Róbert, Osváth Tibor Attila, Sagmeister Ádám, Sándor Krisztián, Schultz Nóra, Seress Dániel, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Szőke Tamás, Tardos Jakab, Tossenberger Tamás, Venczel Tünde, Wiandt Péter, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 points:Csépai András, Győrfi 946 Mónika, Katona Dániel, Lelkes János, Mattia Tiso, Szabó 262 Lóránt, Szaksz Bence, Tóth 095 Zsombor.
3 points:8 students.
2 points:15 students.
1 point:20 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2013