KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4533. (April 2013)

B. 4533. Is there a positive integer that is a perfect power and has digits of 0 and 6 only in decimal notation?

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2013.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: I. Vizsgáljuk a 2 és az 5 kitevőjét. II. Bizonyítsunk indirekt. Vegyük a legkisebb ilyen számot, majd keressünk nála kisebbet.

Megoldás. Nincs.

Tekintsük egy tetszőleges N pozitív egészt, aminek a tízes számrendszerbeli alakjában minden számjegy 0 vagy 6. legyen az utolsó 6-os után álló 0 jegyek száma k. (Ha az utolsó jegy 6-os, akkor k=0.) Ekkor tehát


N = 6\ldots 6\underbrace{0\ldots0}_k = N_1\cdot 10^k = N_1\cdot 2^k\cdot 5^k,

ahol az N1 szám utolsó jegye 6.

Az N1 szám nem osztható 5-tel, ezért az N prímtényezős felbontásában az 5 kitevője k.

Az N1 utolsó két jegye vagy 06, vagy pedig 66; az N1 egyik esetben sem osztható 4-gyel. Ezért a 2 kitevője az N prímtényezős felbontásában pontosan k+1.

Ha N teljes hatvány lenne, azaz N=ah lenne valamilyen h>1 kitevővel, akkor a 2 és az 5 kitevője is osztható lenne h-val. De ez a két kitevő, k és k+1 relatív prímek, ilyen h tehát nem lehet.


Statistics:

102 students sent a solution.
4 points:80 students.
3 points:11 students.
2 points:7 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley